§ 55. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Теорема 7. Уравнение прямой, проходящей через две точки , , заданные относительно общей декартовой системы координат, можно записать в одном из следующих видов:

; (1)

или

; (2)

или

; (3)

или в параметрической форме

(в этих уравнениях t есть координата точки М на прямой в следующей системе координат: - начало координат, - единичная точка).

Доказательство. За направляющий вектор прямой можно взять вектор и затем применить результоты § 50 и § 54.

§ 56. Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая р не проходит через начало общей декартовой системы координат и пересекает обе оси координат: ось Ох в точке (а, 0), а ось Оу в точке (0, b).

Абсцисса а и ордината b точки пересечения прямой с осями Ох и Оу часто называются отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат.

Уравнение прямой р будет иметь вид

или .

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

§ 57. Угловой коэффициент прямой

Определение. Угловым коэффициентом k прямой р, заданной относительно общей декартовой системы координат, называется отношение второй координаты направляющего вектора этой прямой к его первой координате:

.

Прямые, параллельные оси Оу и сама ось Оу не имеет углового коэффициента, т.к. первая координата любого направляющего вектора всех таких прямых равна 0.

Для каждой прямой, пересекающей ось Оу, угловой коэффициент имеет вполне определенное значение, не зависящее от выбора направляющего вектора.

В самом деле, если и - два направляющих вектора одной и той же прямой, пересекающей ось Оу, то , и, следовательно (§ 36, теорема 4)

.

В декартовой прямоугольной системе координат угловой коэффициент к прямой, пересекающей ось Оу, равен тангенсу угла от оси Ох до направляющего вектора этой прямой:

.

В самом деле, если угол от оси Ох до вектора равен , то координата l ортогональной проекции вектора на ось Ох равна

.

Угол от оси Оу до вектора равен , а потому координата m ортогональной проекции вектора на ось Оу равна

.

Из этих соотношений следует, что .

§ 58. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k, в общей декартовой системе координат имеет вид

(1)

Это уравнение следует из канонического уравнения прямой (§ 50).

Теорема 8. Уравнение прямой р, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Оу в общей декартовой системе координат имеет вид

. (2)

Доказательство. Уравнение (2) следует из уравнения (1), если в нем положить .

Число b называется «начальной ординатой» прямой р, а уравнение (2) – уравнением прямой с данной начальной ординатой и данным угловым коэффициентом.

Теорема 9. Если - угловой коэффициент прямой , то угловой коэффициент перпендикулярной к ней прямой

Доказательство. Если мы имеем 2 вектора и , то тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. . Если вектор является направляющим вектором прямой, то угловой коэффициент этой прямой равен . Аналогично, если вектор является направляющим вектором другой прямой, то угловой коэффициент другой прямой равен . Возьмём равенство , поделим обе его части на , получим: , или , , . То есть, если - угловой коэффициент некоторой прямой, то угловой коэффициент перпендикулярной к ней прямой равен . Теорема доказана.

Домашнее задание К - 210-230