6.3.3. Проверка гипотезы о биномиальном законе распределения

Семь монет подбрасывались 1536 раз. Каждый раз отмечалось число Х выпавших гербов (табл. 6.9).

Таблица 6.9

xi	0	1	2	3	4	5	6	7
ni	12	78	270	456	386	252	69	13

При уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу о том, что монеты правильные.

Если все монеты правильные, то вероятность выпадения герба для каждой из них равна р = 0,5. Тогда случайная величина Х – число выпавших гербов при бросании семи монет – имеет биномиальное распределение с параметрами n = 7 и р = 0,5. Биномиальное распределение дискретно, поэтому нужно вычислить теоретические вероятности р_i каждого из 8 возможных значений случайной величины X. Эти вероятности считают по формуле Бернулли:

p(X = 0) = C₇⁰p⁰q⁷ = 0,5⁷ = 0,0078; p(X = 1) = C₇¹p¹q⁶ = 7*0,5⁷ = 0,055;

p(X = 2) = C₇²p²q⁵ = 21*0,5⁷ = 0,164; p(X = 3) = C₇³p³q⁴ = 35*0,5⁷ = 0,273;

p(X = 4) = C₇⁴p⁴q³ = 35*0,5⁷ = 0,273; p(X = 5) = C₇⁵p⁵q² = 21*0,5⁷ = 0,164;

p(X = 6) = C₇⁶p⁶q¹ = 7*0,5⁷ = 0,055; p(X = 7) = C₇⁷p⁷q⁰ = 0,5⁷ = 0,0078.

Теперь можно вычислить математические ожидания чисел появлений каждого из значений случайной величины Х при 1536 бросаниях семи монет, сравнить их с экспериментальными данными и вычислить ²_эксп. Результаты сведены в табл. 6.10.

Таблица 6.10

хi	pi	npi	ni	ni - npi
0	0,0078	12	12	0	0
1	0,055	84	78	-6	0,43
2	0,164	252	270	18	1,29
3	0,273	420	456	36	3,09
4	0,273	420	386	-34	2,75
5	0,164	252	252	0	0
6	0,055	84	69	-15	2,68
7	0,0078	12	13	1	0,08
–	pi = l	npi = 1536	ni = 1536	–	2эксп = 10,32

Найдем ²_кр. В случае дискретной случайной величины при подсчете r вместо числа интервалов берут число различных значений х_i. В нашем случае r = 8 - 1 = 7, так как ни одного параметра по выборке мы не находим. Тогда ²_кр = 14,l > ²_эксп = 10,32. Нет оснований опровергнуть гипотезу о правильности монет.