![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Прямоугольная система координат в пространстве
- •2. Понятие вектора
- •Направляющие косинусы по (2)
- •3. Линейные операции над векторами
- •Свойства линейных операций:
- •4. Скалярное произведение векторов
- •5. Векторное произведение векторов
- •6. Смешанное произведение векторов
- •7. Линейная зависимость векторов
- •8. Базис. Размерность линейного пространства
- •9. Линейные преобразования
- •10. Собственные векторы и собственные числа линейного преобразования
8. Базис. Размерность линейного пространства
Любой
упорядоченный набор из n
действительных чисел
называется n-мерным
вектором
;
при этом указанные числа называются
координатами вектора
.
Совокупность всех n-мерных
векторов называется n-мерным
векторным пространством
.
В n-мерном векторном пространстве максимальное число линейно независимых векторов равно n , именно оно и называется размерностью векторного пространства.
Пример 10. Определить
размерность пространства векторов
.
Решение. Составим матрицу из координат векторов и подсчитаем ее ранг, приведением к ступенчатому виду
,
из чего следует, что только три вектора являются линейно независимыми, и размерность пространства равна трем.
Базисом
векторного n-мерного
пространства называют любую совокупность,
состоящую из n
линейно независимых векторов этого
пространства (заданных в определенном
порядке). Таким образом число векторов
базиса совпадает с размерностью
пространства. В n-мерном
пространстве можно подобрать бесчисленное
множество различных базисов. Всякий
вектор
n-мерного
пространства единственным образом
может быть представлен линейной
комбинацией векторов его базиса –
разложен по базису
|
(10) |
Пример 11. Разложить
вектор
по базису, образованному векторами
(см. пример 10).
Решение. Проверим, действительно ли векторы образуют базис. Для этого составим определитель третьего порядка из их координат и убедимся, что он отличен от нуля
.
Составим определитель
четвертого порядка из координат векторов
,
добавив первый столбец, по которому и
раскроем равный нулю определитель
,
получим равенство
,
из которого имеем искомое разложение
.
Базис называется
ортогональным, если каждый его вектор
ортогонален остальным векторам базиса
(скалярное произведение любых двух
векторов – сумма парных произведений
их координат – равно нулю). Если все
векторы ортогонального базиса имеют
единичную длину, то базис называется
ортонормированным. Примером такого
базиса является декартов ортогональный
базис
.
Найти координаты вектора в таком базисе
можно, используя скалярное произведение,
то есть по формуле
|
(11) |
Пример 12.
Найти координаты вектора
в ортогональном базисе, состоящем из
векторов
.
Решение. Найдем квадраты длин базисных векторов
.
По формулам (11) вычислим координаты вектора
.
Получено разложение вектора по ортогональному базису
.
9. Линейные преобразования
Пусть вектору
из n-мерного
векторного пространства
по некоторому правилу ставится в
соответствие вполне определенный вектор
из
.
Это соответствие называется преобразованием
векторного пространства и обозначается
|
(12) |
где А
– оператор преобразования, переводящего
прообраз -
в образ -
.
Всякое линейное преобразование –
оператор А
может быть задано соответствующей
матрицей преобразования А
и записано в виде матричного уравнения
(12) или системы уравнений
|
(13) |
Если матрица А
невырожденная, то и оператор А
невырожденный, и тогда существует
обратное преобразование
|
(14) |
которое получим, если слева умножим вектор на обратную матрицу .
Пример 13. Дано линейное преобразование
.
Найти преобразование,
переводящее вектор
в вектор
.
Решение. Данное преобразование прямое, где
.
Искомое преобразование
- обратное
,
осуществляет его матрица, обратная
матрице А.
Поскольку определитель матрицы А
равен -63, то для нее существует обратная
,
тогда искомое преобразование
.
Поскольку линейное преобразование полностью характеризуется его матрицей, то действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.
Пример 14. Даны два линейных преобразования
.
Найти преобразование,
переводящее вектор
в вектор
.
Решение. Первое преобразование определяется матрицей
и переводит вектор
в вектор
:
.
Второе преобразование определяется
матрицей
и переводит вектор
в вектор
:
.
Искомое преобразование осуществляется
произведением
.
Перемножим матрицы в указанном порядке
.
Искомое преобразование осуществляется матрицей
и может быть записано в виде системы уравнений
.