![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Диаграмма усталостной прочности
- •Расчет коэффициентов запаса усталостной прочности
- •Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение
- •Колебания системы с одной степенью свободы
- •Определение напряжений при колебаниях. Резонанс
- •Степень свободы колеблющейся системы
- •Собственные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы
- •Приближенные методы определения низших частот собственных колебаний упругих систем
- •Удар по конструкции вертикально движущимся телом
- •Расчет на прочность при нерегулярной переменной нагруженности
- •Пример 3.
- •Вопросы для самопроверки
Колебания системы с одной степенью свободы
Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия.
При исследовании колебаний упругих систем различают собственные (свободные) и вынужденные колебания. Под собственными колебаниями понимается движение системы при отсутствии внешних воздействий. Если колебание системы сопровождается действием внешних сил, то движение называется вынужденным.
В динамических расчетах важным понятием является число степеней свободы системы – наименьшее количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс системы в произвольный момент времени. Системами с одной степенью свободы будут такие, у которых для полной фиксации их геометрического состояния в любой момент времени достаточно знать один параметр, например, положение определенной точки. Таковы, например, растянутая или сжатая незначительного веса пружина с грузом на конце, совершающая продольные колебания; небольшого (сравнительно с грузом Q) собственного веса балка, изображенная на рис.15.24, колеблющаяся в направлении, перпендикулярном к ее оси, и т. п.
Рис.15.24
Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются тригонометрическими функциями синуса или косинуса, например,
(15.4)
где
А0
– амплитуда, т.е. максимальное значение
обобщенной координаты x
при колебаниях системы (рис. 15.25);
–
круговая
частота свободных колебаний;
–
фаза колебаний;
–
начальная фаза колебаний, т.е. фаза в
момент времени t
= 0.
Промежуток времени за который совершается полный цикл колебаний, носит название периода собственных или вынужденных колебаний, смотря по тому, о каких колебаниях идет речь. Период колебаний обозначается через Т. Величина обратная Т, называется частотой колебаний:
,
и
представляет собой число колебаний в
течение одной секунды. В технике в
большинстве случаев используется
понятие круговой частоты
,
представляющей собой число колебаний
за
секунд.
Период колебаний и круговая частота свободных колебаний связаны зависимостью
(15.5)
Круговая частота связана с сосредоточенной массой m и жесткостью с системы зависимостью
(15.6)
Жесткость
системы
– это сила, которая вызывает перемещение,
равное единице. Часто масса колеблющейся
системы считается постоянной, а упругая
система линейной, для которой сила
упругости Р
=
mg
(g
– ускорение свободного падения)
пропорциональна соответствующему
перемещению
,
т. е.
(15.7)
Учитывая приведенные выше соотношения, можно записать формулы для круговой частоты и периода свободных колебаний, каждая из которых в том или ином случае может оказаться удобной при решении практических задач:
(15.8)
(15.9)
Возможны
системы с несколькими упругими связями,
каждая из которых имеет свою жесткость.
На рис. 15.26, а
показана схема механической системы с
так называемым параллельным
соединением упругих связей с жесткостями
и
,
а на рис. 15.26, б
– с последовательным
соединением упругих связей. Суммарные
жесткости показанных систем рассчитываются
по-разному.
При параллельном соединении упругих связей жесткость системы рассчитывается по формуле
,
(15.10)
а при последовательном соединении
(15.11)
В
предыдущих формулах под массой m
понимается масса груза, совершающего
колебания, без учета собственной массы
системы. В остальных задачах принято,
что масса m
состоит из массы
груза,
совершающего колебания, и приведенной
к точке распределенной собственной
массы системы
,
(15.12)
где
,
–
истинная собственная масса системы;
–
коэффициент привидения. Принимаем
подобно коэффициенту приведения при
ударной нагрузке
–
при продольных колебаниях систем, типа
показанной на рис. 15.27, а;
–
для изгибных колебаний шарнирно опертой
балки на двух опорах (рис. 15.27, б);
–
для изгибных колебаний консоли (рис.
15.27, в).