Изгиб балок переменного поперечного сечения

На практике часто приходится иметь дело со стержнями переменного поперечного сечения, у которых площадь и момент инерции являются функциями z. В этом случае общий интеграл дифференциаль­ного уравнения изогнутой оси балки имеет вид:

(44)

Обозначим символом момент инерции какого-либо сечения, напри­мер при z = 0. Введем обозначение:

Тогда (41) можно представить в виде

где

- приведённый момент.

Исходная балка переменной жесткости приводится к балке постоянной с некоторым моментом .

Рассмотрим в качестве примера балку ступенчато-переменного сече­ния с двумя участками разной жесткости и (рис. 6.50).

а) б)

Рис. 6.50

Пусть длины участков . Тогда , .

Для исходной балки . Для приведенной к единой жесткости балки имеем:

где .

Как видно, на границе участков при внутренние силовые факторы приведенной балки претерпевают скачки на величины:

Это возможно для приведенной балки только в том случае, если на стыке участков при будут приложены внешние сосредоточенные сила и момент равные:

Дальнейшее решение задачи по определению прогибов в балке состо­ит в применении метода начальных параметров к балке с приведенной жесткостью . Прогиб балки на конце консоли второго участка будет равен:

Так как при то после замены , получаем:

Балка равного сопротивления

Пусть балка имеет прямоугольное переменное сечение, для которого вы­сота сечения h - постоянная величина, а ширина изменяется по линейному закону:

Рис. 6.51

Момент инерции поперечного сечения:

Для рассматриваемой балки изгибающий момент в поперечном сечении z равен:

Согласно (23) прогиб балки:

или с учетом :

Определим теперь максимальные напряжения по формуле:

Полагая и используя выражения для и найдем:

где - момент сопротивления сечения в защемлении на левом конце балки при z = 0.

Таким образом, во всех сечениях балки рассматриваемого поперечно­го сечения максимальные поперечные сечения максимальные напряже­ния получились одинаковыми. Такая балка носит название балки равного сопротивления изгибу. Изогнутая ось балки представляет собой квадра­тичную параболу.

Балка на упругом основании

Если балка лежит на упругом основании, то последнее оказывает на балку реактивное давление (гипотеза Винклера), где - коэффи­циент упругости основания (коэффициент постели). Добавляя в правую часть уравнения нагрузку , получим дифференциальное урав­нение изогнутой оси балки на упругом основании:

(45)

Введем обозначение:

Тогда уравнение (45) принимает вид:

(46)

Его общим решением будет:

(47)

где - частное решение неоднородного уравнения (45).

Так как:

то общее решение (27) можно записать в ином виде:

Академик А. Н. Крылов ввел функции:

обладающие свойством:

Они образуют систему частных решений уравнения с единичной матрицей, представляемой в виде табл. 6.1.

Общее решение уравнения (45) можно записать через функции Кры­лова в виде

где

Таблица 6.1.

	Y(0)	Y’(0)	Y’’(0)	Y’’’(0)
Y1	1	0	0	0
Y2	0	1	0	0
Y3	0	0	1	0
Y4	0	0	0	1

Рассмотрим балку полубесконечной протяженности (рис. 6.52).

Рис. 6.52

На краю балки при действуют сосредоточенные сила Р и момент . Следовательно, на край балки при z = 0 имеем перерезывающую силу и изгибающий момент . Если балка весьма длинная, то при больших z (теоретически ) прогибы должны быть весьма малыми (теоретически ). Поэтому, согласно (47), . Так как распределенная нагрузка , то частное решение .

Следовательно, общее решение рассматриваемой частной задачи имеет вид:

(48)

Вычислим производные:

Зная их, можно вычислить изгибающий момент и перерезывающую силу:

(49)

Постоянные определяем из граничных условий при :

откуда с учетом (48), (49) получаем:

Для прогиба (48) получаем выражение:

(50)

Максимальный прогиб находим из (49) при :

Пусть на краю балки при момент а перерезывающая сила тогда:

Как видно, прогиб , момент , сила по мере удаления от края балки периодически уменьшаются по экспоненциальному закону. Эта особенность быстрого затухания , , по мере удаления от края балки называется краевым эффектом (см. рис. 6.52).