![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •ВВедение
- •§ 1. Вычисление пределов
- •§ 2. Классификация точек разрыва
- •§ 3. Дифференцирование функций
- •§ 4. Исследование функций
- •§ 5. Интегралы и их приложения
- •Литература
- •Содержание
- •§ 1. Вычисление пределов 3
- •§ 2. Классификация точек разрыва 7
- •§ 3. Дифференцирование функций 8
- •§ 4. Исследование функций 17
- •§ 5. Интегралы и их приложения 26
§ 5. Интегралы и их приложения
5.1.
Основные определения и формулы.
Функция F(x)
является первообразной функции
f(x),
если на некотором множестве X
выполняется равенство F(x)=f(x).
Совокупность всех первообразных для
f(x)
называется неопределенным интегралом
и обозначается
.
При этом, если F(x)
– какая-либо из первообразных f(x),
то
,
константа C пробегает
все множество действительных чисел. В
таблице 2 на стр. 26 приводятся основные
формулы, в которых u=u(x).
Таблица 2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
|
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
|
Очевидно, что формулы 10), 12) и 14) являются частными случаями формул 11), 13) и 15) соответственно.
Если f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a;b], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:
,
(5.1)
где F(x) – какая-либо первообразная для f(x). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.
И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):
,
.
Пример
5.1. Найти: а)
;
б)
.
Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):
В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):
5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.
Пример
5.2 Найти: а)
;
б)
.
Решение.
В примере а) можно заметить, что
,
а затем воспользоваться формулой 5) при
u=lnx:
В случае
б)
,
а потому в силу 11) при
получим:
Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:
В общем случае выбор замены определяется
видом подынтегральной функции. В
некоторых случаях рекомендуются
специальные замены. Например, если в
выражении присутствует иррациональность
вида
,
то можно положить
или
.
Пример
5.3 Найти: а)
;
б)
.
Решение. В случае а) имеем
(после замены применили табличную формулу 11)).
При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.
5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид
,
(5.2)
для определенного
,
(5.3)
При этом важно учитывать следующее.
1) Если
подынтегральная функция содержит
произведение многочлена от x на
функции
,
то в качестве u
выбирается многочлен, а оставшееся под
знаком интеграла выражение относится
к dv.
2) Если
подынтегральная функция содержит
обратные тригонометрические (
)
или логарифмические (
)
функции, то в качестве u выбирается
одна из них.
Пример
5.4. Найти: а)
;
б)
.
Решение.
В случае а) применяем формулу (5.2) и
второе правило. Именно, полагаем
.
Тогда
.
Далее,
,
а потому
.
Следовательно,
.
В полученном интеграле выделим целую
часть подынтегральной функции (так
поступают, когда степень числителя не
меньше степени знаменателя):
.
Окончательно решение выглядит так:
В примере б) используем (5.3) и первое из правил.
5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)-16).
Пример
5.5. Найти: а)
;
б)
;
в)
.
Решение. В случае а) действуем следующим образом:
,
поэтому (с учетом 13) )
При
решении примера б) потребуются
дополнительные преобразования, связанные
с присутствием переменной в числителе
подынтегральной функции. Выделив полный
квадрат в знаменателе (
),
получим:
Для
второго из интегралов в силу 11) (табл.2)
имеем:
.
В первом интеграле проведем внесение
под знак дифференциала:
.
Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x, получаем:
В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:
.
Далее проводим замену
переменной (
)
и окончательно имеем:
5.5. Интегрирование простейших
тригонометрических функций. При
интегрировании выражений вида
(где m и n
– натуральные числа) рекомендуется
принимать во внимание следующие правила.
1) Если
обе степени четные, то применяются
формулы «понижения степени»:
;
.
2)
Предположим, что какое-либо из чисел m
и n – нечетное.
Например, n=2k+1.
В этом случае одну из степеней функции
cosx «отщепляют»,
чтобы внести под знак дифференциала
(т.к.
).
В оставшемся выражении
с помощью основного тригонометрического
тождества
выражают через
(
).
После преобразования подынтегрального
выражения (и с учетом свойства линейности)
получается алгебраическая сумма
интегралов вида
,
каждый из которых можно найти с помощью
формулы 2) из таблицы 2:
.
Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы
;
(5.4)
;
(5.5)
.
(5.6)
Пример 5.6. Найти: а)
;
б)
;
в)
.
Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx, поэтому действуем по второму правилу, учитывая, что .
В
примере б) воспользуемся формулой
(5.4), линейностью неопределенного
интеграла, равенством
и табличной формулой 4):
В случае в) последовательно понижаем степень, учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные формулы:
5.6. Приложения определенного интеграла.
Как известно, криволинейной трапецией,
соответствующей неотрицательной и
непрерывной на отрезке [a;b]
функции f(x),
называется область, ограниченная
графиком функции y=f(x),
осью OX и двумя
вертикальными прямыми x=a,
x=b.
Коротко это можно записать так:
(см. рис.3).
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле
(5.7)
Если область на
плоскости имеет вид
(см. рис.4), причем от обеих функций
требуется только непрерывность, то
справедлива формула
.
(5.8)
Рис. 3 Рис. 4
Пример 5.7. Найти площадь области, ограниченной:
а) осью
ОХ и линиями
;
б)
графиками функций
.
Решение.
Предварительно необходимо построить
соответствующие графики и определить
область, площадь которой нужно найти.
Для случая а) это сделано на рис.5
(стр.35). Очевидно, что заштрихованная
область представляется в виде объединения
двух криволинейных трапеций:
и
.
Здесь
– абсцисса точки пересечения графиков
функций
.
Нужное значение найдем, решая
соответствующую систему уравнений:
Таким
образом, выбираем решение
(с учетом того, что
).
Площади криволинейных трапеций
и
находим по формуле (5.7), а затем суммируем,
чтобы получить область всей интересующей
нас области:
.
В случае
б) графики и область, площадь которой
надо найти, изображены на рис.6 (стр.35).
Очевидно, что мы имеем дело с объединением
двух областей. При этом
(эта криволинейная трапеция состоит из
двух симметричных относительно оси OX
частей, поэтому
,
где
)
и
.
Как и выше,
и
- абсциссы точек пересечения графиков,
которые находим, решая систему уравнений:
откуда
и
.
Для вычисления площади криволинейной
трапеции
применяем формулу (5.7), для вычисления
площади
- (5.8):
Окончательно
имеем:
Замечание. Другие примеры, связанные с нахождением неопределенных и определенных интегралов и определением площадей плоских областей можно найти в [1, стр.19-24], [2, стр.3-8] и [4, стр.3-11].
Рис. 5 Рис.6