3.5. Дифференцирование функции

Дифференцируемость. Вещественная функция п переменных f(x) = f(x₁, …, х_п) является дифференцируемой в точке х⁰ = (х₁₀, …, х_п0)^Т, если существует вектор а = (а_{1, … ,} а_п)^Т, такой, что имеет место

,

где h = (h₁, …, h_n)^T произвольный вектор (или точка) пространства Е^п, h - норма вектора h. Координаты а_j, j = 1, …, n, вектора а называются частными производными функции f(x):

, , j = 1, …, n.

Функция f(x) называется дифференцируемой, если она дифференцируема во всех точках области определения. В этом случае вектор – столбец частных производных функции

f(x)/х = (

называется градиентом и обозначается символом _хf(x).

В приложениях широкое применение получила эластичность дифференцируемой функции, которая определяется в виде

, j = 1, …, n.

По существу она представляет собой отношение частной производной по конкретной переменной к средней величине функции при фиксированных значениях остальных переменных, другими словами, она характеризует относительное изменение функции при единичном относительном изменении одной определенной координаты, поэтому в теории управления эластичность носит название относительной чувствительности. Величина  = ₁ + … + _п характеризует локальное поведение функции в каждой точке области ее определения.

Функция называется непрерывно дифференцируемой, если она дифференцируема и все ее частные производные непрерывны. Дифференцируя частные производные, получаем производные второго порядка

.

Матрица Н, элементы которой – суть вторые частные производные, называется матрицей Гессе. Если функция непрерывно дифференцируема, то значение вторых частных производных не зависит от порядка дифференцирования, т.е.

.

Тогда матрица Н является симметричной, т.е. h_ij = h_ji i,j, что равносильно условию Н = Н^Т. С дважды дифференцируемой функцией связываются понятия полного дифференциала и второго полного дифференциала, определяемые соответственно в виде

,

.

Вещественная функция называется однородной степени r, если в любой точке области определения и для произвольного    имеет место

.

Однородные дифференцируемые функции удовлетворяют легко доказуемой теореме Эйлера

Рекомендуем студентам самостоятельно убедиться в справедливости этого уравнения. Показать также, используя функцию (t) = f(tx)/t^r, что теорема Эйлера содержит необходимые и достаточные условия однородности функции степени r.

3.6. Матрицы и векторы

Матрица. Матрицей называется прямоугольная таблица вещественных чисел. Число строк и столбцов матрицы определяет ее размерность, например, - матрица - это таблица, имеющая m строк и n столбцов; a_ij, i = 1, …, m; j = 1, …, n, - элементы А; при m = n матрица А называется квадратной; в квадратной матрице все элементы, у которых i = j, начиная с элемента верхнего левого угла и кончая элементом правого нижнего угла, называются элементами главной диагонали; квадратная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю; элементы строк и столбцов составляют соответственно векторы-строки и векторы-столбцы; при m = 1 матрица превращается в вектор-строку, а при п = 1- вектор-столбец; квадратная матрица называется диагональной, в которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю; квадратная матрица называется треугольной, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю; сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется ее следом и обозначается через tr(A) = , где п – число строк или столбцов матрицы - ее порядок (пхп – размерность матрицы).

Матрицы А и В равны, т.е. А = В, если равны их элементы: a_ij = b_ij, i = 1, …, m, j = 1,…, n; аналогично определяются и другие отношения между ними: «», «», «», «» и т.д.

Над матрицами выполняются операции сложения и вычитания: А  В = С  a_ij  b_ij = c_ij  i,j; умножение на скаляр: А = В   a_ij = b_ij,  i,j; умножение матрицы на матрицу: если А имеет размерность (mxr), а В – размерность (rxn), тогда их произведение АВ = С, где С имеет размерность (mxn) и при этом c_ij = , i = 1, …, m, j = 1, …, n; транспонирование: А^Т означает, что строки матрицы А являются столбцами матрицы А^Т, и наоборот; обращение матрицы: квадратная матрица А и ее обратная матрица А^-1 связаны соотношением АА^-1 = I, где I – единичная матрица; матрицу A^-1 можно определить как A^-1 =(С_ij)^T/|A| = ((-1)^i+jM_ij)/|A|, где (C_ij) – матрица, состоящая из алгебраических дополнений элемента a_ij матрицы А, M_ij - определитель матрицы, получающейся из квадратной матрицы А, путем вычеркивания ее i-ой строки и j-ого столбца, |A| - ее определитель. Представляют интерес соотношения I^-1 = I; с операцией обращения связаны выражения (AB)^-1 = B^-1A^-1; (A^-1)^-1 = A; (A^T)^-1 = (A^-1)^T; наконец, если А – неотрицательная квадратная матрица, то матрица I - A имеет неотрицательную обратную матрица тогда, и только тогда, когда I - A удовлетворяет условию Хоукинса – Саймона, т.е. все ее главные миноры положительны и, кроме того, имеет место разложение (I - A)^-1 = I+A+A²+…

Ранг матрицы. Рангом (А) матрицы А называется максимальное число ее линейно независимых строк (или столбцов), другими словами, ранг матрицы – это размерность подпространства, «натянутого» на строки или столбцы матрицы А. Ранг прямоугольной матрицы А отвечает условию 0  (А  min (m, n), где m и n – соответственно числа строк и столбцов А. Представляют интерес соотношения, связанные с рангом матрицы: (А) = (А^Т) = (А^ТА); (А+В)  (А) + (В),если матрицы А и В имеют один и тот же порядок; (АВ)  min{(А), (В)}, если произведение АВ определено.

Еесли выполняется условие (А) = п, то квадратная матрица А называется невырожденной.

Скалярное произведение. Скалярным произведением двух (пх1) -векторов (внутреннее произведение) называется выражение x^Ty = y^Tx = представляют интерес соотношения .

Собственный вектор. Собственным (или характеристическим) вектором квадратной матрицы А называется ненулевой вектор х, который после преобразования А переходит в вектор, отличающийся от х лишь на постоянный числовой множитель, т.е. Ах = х. Величина  называется характеристическим корнем для матрицы А. Записывая это преобразование в виде уравнения (А - I)х = 0, приходим к выводу, что ненулевое его решение существует лишь в том случае, если определитель матрицы А - I равен нулю, т.е. det(А - I) = 0. Это уравнение называется характеристическим уравнением. Оно является алгебраическим уравнением степени п относительно :

det(А - I) =(-)^п + а₁(-)^п-1 + … + а_п-1(-) + а_п = 0,

если А – матрица порядка (пхп). Это алгебраическое уравнение имеет п необязательно различных корней ₁, ₂, …, _п. Для приложений представляют интерес следующие соотношения, связанные с этими корнями: их сумма равна следу матрица А, а произведение – ее определителю.

Решение системы. Система линейных уравнений

,

или в матричной форме Ax = b, где A – ( ) – матрица коэффициентов а_ij, (mx1) вектор коэффициентов правых частей, х – (пх1) – вектор переменных, либо имеет решение (единственное или неединственное), либо не имеет решения. Решение существует тогда, и только тогда, когда имеет место (А) =r. Если решение существует, то оно будет единственным тогда, и только тогда, когда r = п. Если решение существует, но имеет место r  п, то п - r переменным можно присваивать произвольные значения. Если m = n и (А) =n, то решение единственно. Его можно получить с помощью уравнения x= A^-1b.

При m  n и существовании (mхm) – матрицы В полного ранга, систему Ах = b, х≥ 0 можно представить в виде

откуда, ввиду того, что, по определению В, ее обратная матрица В^-1 существует, следует решение для х_В в виде

х_B = B^-1b – B^-1Nх_N.

Если в этом выражении положит х_N = 0, то получим х_B = B^-1b. Если х_B ≥ 0, оно называется допустимым базисным решением, а матрица В - базисом для пространства, образованного векторами-столбцами матрицы А.

Квадратичная форма. Если А – квадратная матрица порядка (пхп), а х – (пх1) –вектор из Е^п, то функция x^TAx называется квадратичной формой. Матрица А называется положительно определенной (полуопределенной), если x^TAx  0 () для всех ненулевых х. Она называется отрицательно определенной (полуопределенной), если x^TAx  0 () для всех ненулевых х.

Оказывается, что если матрица Н – положительно определена (полуопределена), то функция f(x) =а^Тх + x^TAx является строго выпуклой (выпуклой) функцией, а в случае, когда Н отрицательно определена (полуопределена), функция f(x) является строго вогнутой (вогнутой) функцией. Эти свойства матрицы Н играют важную роль в нелинейном программировании, в частности, квадратичном программировании.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Исследование операций. В 2-х томах. /Под ред. Дж. Моудера и С. Элмаграби. Т.1. Методологические основы и математические методы. –М.: МИР, 1981. –712 с. Т.2. Модели и применения. –М.: МИР, 1981. –677 с.

2. Таха Х. Введение в исследование операций. –М.: МИР, 2002. –980 с.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. –М.: Наука, 1988. –208 с.

4. Кудрявцев Е.М. Исследование операций в задачах, алгоритмах и программах. –М.: Радио и связь, 1984. –450 с.

5. Дегтярев Ю.И. Исследование операций. –М.: Высшая школа, 1986.

6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. –М.: МИР, 1982. –583 с.

7. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. –М.: Радио и связь, 1988. –128 с.

8. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. –М.: Наука, 1991. –448 с.

9. Шалобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. –367 с.

10. Саркисян Р.Е. Отношение предпочтения в процедурах выбора и принятия решений. –М.: МИИТ, 2002. – 48 с.

С О Д Е Р Ж А Н И Е