§3.9. Основы квантовой механики.

Таким образом, стало очевидным, что между процессами, совершающимися в макро- и микромире, существует не только количественное, но и качественное различие. Поэтому законы классической физики, полученные из наблюдений над макрообъектами, не всегда пригодны для описания процессов, происходящих в микромире. Для них используют результаты квантовой механики, физическими основами которой являются с одной стороны дискретность процессов микромира (кванты и фотоны) и волновая природа микрочастиц (волны де Бройля).

При изучении квантовой физики определенные трудности составляют невозможность свести квантовые понятия и процессы к привычным представлениям и отсутствие в ряде случаев аналогий, столь облегчающих «понимание» изучаемого предмета. Иными словами, к сожалению, квантовая механика лишена наглядности, характерной для классической механики, и невозможно очевидными моделями представить или описать явления микромира.

Из корпускулярно – волнового дуализма микрочастицы вытекает, что результаты, которые получаются из эксперимента, можно истолковать, используя с одной стороны выводы квантовой теории, и, с другой стороны, рассматривая частицу как волну с длиной де Бройля. Например, при дифракции электронов, освещенность дифракционной картины можно вычислить как результат интерференции волн де Бройля от разных электронов. Тогда, согласно волновым представлениям, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды волны. По представлениям квантовой теории, интенсивность определяется числом электронов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число электронов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды волны де Бройля. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц, попавших в эту точку или, иными словами, где больше вероятность попадания электронов. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Т аким образом, в волновой теории интенсивность прямо пропорционально квадрату амплитуды A², а согласно фотонной теории она прямо пропорционально числу фотонов n. Значит, n~A². Для одного фотона A² определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку. Этот пример показывает, что результаты квантовой теории имеют вероятностный характер и определяют вероятность того или иного события. Но волны де Бройля не могут играть роль волн вероятности, т.к. в каких то точках они имеют отрицательные значения. Для устранения этого Борн в 1926г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина ψ(x, y, z, t) − названная амплитудой вероятности или волновой функцией. Тогда вероятность W~|ψ(x, y, z, t)|².

Вероятность нахождения частицы в элементе объема dV: dW=~|ψ|²dV.

|ψ|² =dW/dV − имеет смысл плотности вероятности.

Вероятность в объеме V:

Нормировка

Таким образом, движение микрочастиц в квантовой механике описывается принципиально по–новому − с помощью волновой функции ψ (x, y, z, t) (пси - функция), которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойств. Физический смысл имеет не сама ψ – функция, а квадрат ее модуля |ψ|², который характеризует вероятность пребывания частиц в данный момент времени, в определенной точке пространства, в данном объеме.

Необходимость вероятного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории.

Вид функции ψ (x, y, z, t) в каждом конкретном случае получается решением волновой уравнения Шредингера (1926).

Общее (основное) уравнение нерелятивистской квантовой механики, зависящим от времени:

где − оператор Лапласа, ,

U − потенциальная энергия частицы в силовом поле.

Уравнение Шредингера дополняется условиями, удовлетворяющие некоторые естественные требования к ψ − функции. ψ − функция должна быть:

• конечной, однозначной и непрерывной во всем пространстве;

• иметь непрерывные производные;

• |ψ|² должна быть интегрируемая: это приводит к ее нормировке ;

(вероятность нахождения частицы где-либо в пространстве достоверное событие и равняется единице).

Решение уравнения Шредингера, удовлетворяющие вышеуказанным требованиям (нахождение так называемых собственных функции ψ₁, ψ₂,…, ψ_n), возможно только при дискретных значениях полной энергии системы W (W₁, W₂,…, W_n ‑ энергетических уровнях). Отсюда и квантование не только энергии, но и других физических величин. Тогда квантовые числа естественным образом вытекают из решения уравнения Шредингера, а не постулируется, как в компромиссной теории Бора. Хотя само уравнение (как и все основные уравнения физики – как, например, уравнения Максвелла или уравнения Ньютона) не выводится, а постулируется, его правильность подтверждалась экспериментально. Уравнение Шредингера имеет бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл (более подробно в приложение).

Д ля электрона в атоме отдельная волновая функция определяет орбиталь, характеризуя распределение электронной плотности вокруг ядра (на рис. схематично показана зависимость вероятности обнаружения электрона от расстояния r до ядра). Максимум этой зависимости приходит на расстоянии r₁ ≈ 0,53^.10^-10м, которое соответствует радиусу первой боровской орбиты. Следовательно, электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу. Так как состояние электрона в этой орбитале сферически–симметричны, то электрон имеет наибольшую и одинаковую вероятность находиться во всех точках сферы радиусом r₁ и с центром в ядре атома. Поэтому под орбиталью понимают область пространства, где вероятность пребывания электрона велика (~ 90 %). Каждому состоянию электрона в атоме соответствует своя орбиталь с характерными очертаниями и ориентацией. Такие задачи решаются в квантовой химии.

Диаметры слоев у различных атомов различны. По мере увеличения заряда ядра диаметр внутренних слоев уменьшается (они как бы «подтягиваются» к ядру). Наружный слой – внешние размеры различных атомов (~10^–10м), меняется мало, благодаря экранизирующему действию внутренних слоев.

Приложение 1.

Некоторые решения уравнения Шредингера.

1. Общее (основное) уравнение нерелятивистской квантовой механики, зависящим от времени:

где − оператор Лапласа, ,

U − потенциальная энергия частицы в силовом поле.

Уравнение Шредингера дополняется условиями, удовлетворяющие некоторые естественные требования к ψ − функции. ψ − функция должна быть:

• конечной, однозначной и непрерывной во всем пространстве;

• иметь непрерывные производные;

• |ψ|² должна быть интегрируемая: это приводит к ее нормировке ;

(вероятность нахождения частицы где-либо в пространстве достоверное событие и равняется единице).

2. Уравнение Шредингера для стационарных состояний (в стационарном поле):

где Е − полная энергия частицы.

3. Уравнение Шредингера для свободных частиц (для частиц, движущихся (скажем вдоль оси х), в отсутствие внешних полей − для них ). Тогда уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

.

Решение дает непрерывные значения для Е.

4. Частица находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками».

Тогда уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид: .

За пределами «ямы» ψ(х)=0

В пределах «ямы» уравнение Шредингера сведется к уравнению:

.

Решение, учитывая граничные условия, дает дискретное значение:

Ψ(x)=A∙sinkx, при k=nπ/ℓ.

5. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

А нализируя характер функций ψ₁(х), ψ₂(х) и ψ₃(х), видим, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера ψ₂(х)>0, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом (т.е. с той же частотой), что и до барьера, но с меньшей амплитудой. Следовательно, частица имеет отличную от нуля вероятность оказаться в области 3, т.е. отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Приложение 2

Эффект Комптона

При рассеянии монохроматического рентгеновского излучения веществами с легкими атомами (парафин, бор), Комптон (1923г) обнаружил, что наряду с первоначальным излучением наблюдается также более длинноволновое излучение.

Если λ - длина волны падающего излучения, а λ^′ - длина волны дополнительного, рассеянного излучения, то их разность Δλ=λ^′−λ не зависит от λ и от природы вещества.

Δλ=λ^′−λ=2λ_с sin²θ/2,

где =2,426пм комптоновская длина волны при рассеянии фотона на электроне (1пм=10^-12м).

Эффект Комптона – упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (Х и γ -излучения) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны.

- импульс налетающего фотона с энергией

и - импульс и энергия рассеянного фотона соответственно.

W₀=m_ec² - энергия покоя электрона.

Энергия электрона после столкновения (по СТО).

В законы сохранения: , , поставив все значения энергии и импульса и используя формулу косинусов , получаем выражение Δλ=λ^′−λ=2λ_с sin²θ/2 и =2,426пм.

Существует еще и обратный Комптон эффект.