6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Программа дисциплины «Математический анализ»

Пределы последовательностей и функций. Числовые и степенные ряды.

Элементы теории множеств. Выпуклые множества и их свойства. Множество вещественных чисел.

Функция. Область определения, область значения функции. Способы задания и основные свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Виды преобразований графиков функций. Суперпозиция функций. Обратная функция, ее график и свойства. Числовые последовательности.

Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности.

Предел функции в точке и на бесконечности. Пределы монотонных функций. Свойства функций, имеющих предел в точке или на бесконечности. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (величины), их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение в вычислениях пределов.

Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Эталонные ряды. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши.

Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Ряды Маклорена и Тейлора.

Дифференцирование функции одной переменной

Понятие функции, дифференцируемой в точке. Геометрический и физический смысл производной функции. Производная сложной и обратной функции. Правила дифференцирования, таблица производных.

Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. Применение производной функции к вычислению пределов.

Условия монотонности функций. Экстремумы функции, необходимые и достаточные условия точек экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика. Понятие кривой. Примеры. Уравнение касательной к кривой в данной точке.

Неопределенный и определенные интегралы

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Таблица интегралов. Методы замены и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница, ее применение в вычислении определенных интегралов. Методы замены и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.

Функции нескольких переменных. Комплексные числа

Функции многих переменных. Числовые функции двух, трёх и большего числа переменных. Область определения. Предел функции. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными.

Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа, применение в поиске оптимальных решений.

Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. Формулы Эйлера. Корни из комплексных чисел.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение с правой частью специального вида. Приложение к описанию линейных моделей в экономике.

Нормальная система дифференциальных уравнений. Приложение в моделирование экономических процессов. Метод вариации для решений систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие об устойчивости решения дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову.