1.3. Повторные независимые испытания:

Схема Бернулли и формула Бернулли. Формула Пуассона. Предельные случаи для формулы Бернулли: локальная и интегральная предельные теоремы.

1. Найти вероятность того, что при четырех подбрасываниях игральной кости 5 очков появятся: 1) два раза; 2) хотя бы один раз.

2. Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7. Из 28 студентов группы наудачу выбираются три студента. Определить вероятности всех возможных значений числа отличников, которые могут оказаться среди трех выбранных студентов.

3. В семье 5 детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что в семье: 1) два мальчика; 2) не более двух мальчиков; 3) более двух мальчиков; 4) не менее двух и не более трех мальчиков.

4. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения 6 очков было равно 50.

5. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее выиграть для каждого из них: 1) одну партию из двух или две из четырех; 2) не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти. Ничьи во внимание не принимаются.

6. Бланк программированного опроса состоит из пяти вопросов. На каждый даны три ответа, один из которых правильный. Какова вероятность, что методом угадывания студенту удастся выбрать, по крайней мере, 4 правильных ответа?

7. При выпуске некоторой продукции бывает в среднем 0,5% брака. Определить вероятность того, что в партии из 800 изделий будет не более 3-х бракованных изделий.

8. Вероятность того, что купюра фальшивая, равна 0,01. Найти вероятность того, что из 100 купюр: а) хотя бы одна фальшивая; б) не менее трех фальшивых.

9. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,001. Найти вероятность того, что среди 2000 собранных приборов окажется не более трех собранных неточно.

10. Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты сработает правильно равна 0,99. Найти наиболее вероятное число случаев неправильной работы автомата и вероятность этого числа, если в автомат опущено 200 монет.

11. Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на 10%. Определить вероятность того, что из 10 проверенных кустов винограда один будет поражен. Вычисления провести по формулам Бернулли, Лапласа, Пуассона. Сравнить результаты, сделать выводы.

12. На факультете 900 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность того, что найдутся три студента с одним и тем же днем рождения.

13. Вероятность получения отличной оценки на экзамене равна 0,2. Найти наивероятнейшее число отличных оценок и вероятность этого числа, если экзамен сдают 75 студентов.

14. В партии семян в среднем 10% невсхожих семян. Найти вероятность того, что в партии из 2500 семян окажется от 2200 до 2350 (включительно) всхожих.

15. Вероятность погашения кредита в срок равна 0,75. Найти вероятность того, что из 200 кредитов выданных банком будет погашено в срок: а) 175 кредитов, б) не менее 140 кредитов.

16. Спортсмен попадает в цель с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что: а) на тренировке из ста выстрелов промахов будет не более десяти, б) на соревнованиях у этого спортсмена из десяти выстрелов будет не менее девяти попаданий.

17. Известно, что в среднем 80% кредитов, выданных банком, погашаются в срок. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 будет находиться доля кредитов погашенных в срок из ста выданных.

18. В среднем 60% посетителей магазина делают в нем покупки. Найти вероятность того, в наудачу выбранный день из 200 посетителей доля, не сделавших покупок будет менее 20%.

19. Спортсмен попадает в цель с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что на тренировке из ста выстрелов промахов будет менее сорока.

20. В среднем продается 70% билетов на 300 мест зрительного зала театра. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 будет находиться число проданных билетов в наудачу выбранный день.

21. Сколько раз следует подбросить монету, чтобы частота выпадения герба отличалась от вероятности не более чем на 0,01 с вероятностью 0,9545.

22. Какое количество повторных независимых испытаний следует провести, чтобы вероятность события отличалась от его частоты не более чем на 0,05 с вероятностью 0,9973 .

23. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения относительной частоты от постоянной вероятности не превысила .

24. Вероятность того, что человек в период страхования будет травмирован, равна 0,006. Компанией застраховано 1000 человек. Годовой взнос с одного человека составляет 150 рублей. В случае получения травмы застраховавшийся получает 12000 рублей. Какова вероятность того, что выплата по страховкам превысит сумму страховых взносов?