![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Начало проектирования _12.01.11_______Окончание проектирования__21.06.11____________
- •Календарный план работы над проектом
- •Содержание
- •1 Основы теории Марковских процессов
- •1.1 Основные понятия
- •1.2 Уравнения Колмогорова
- •1.3 Марковский процесс с дискретным временем
- •1.4 Марковские случайные процессы
- •2 Расчет предметных вероятностей
- •2.1 Задача 1
- •2.2 Задача 2
- •2.3 Задача 3
1.4 Марковские случайные процессы
При исследовании различных операций с точки зрения выбора оптимального решения часто возникают ситуации, когда обстановка приведения операции характеризуется случайными неконтролируемыми факторами. В этом случае операция развивается по схеме случайного процесса, протекание которого зависит от сопровождающих операцию случайных факторов.
Количественно
случайный процесс описывается случайной
функцией времени t, которая может
принимать различные значения с заданным
распределением вероятностей. Т.о. для
любого t=ti значение
является
случайной величиной.
Случайный процесс
определяется совокупностью функций
времени и законами, характеризующими
свойства этой совокупности. Каждая из
функций этой совокупности называется
реализацией случайного процесса.
Реализация обозначается
В зависимости от
того, принадлежат ли возможные значения
времени t и реализации
дискретному множеству чисел или интервалу
действительных чисел, различают четыре
типа случайных процессов:
Случайный процесс общего типа:
могут принимать любые значения.
Дискретный случайный процесс: t-непрерывно, а значения дискретны.
Случайная последовательность общего типа: t-дискретно, а принимает любые значения.
Дискретная случайная последовательность: дискретны.
Для описания случайного процесса используют функции распределения:
одномерная
интегральная функция распределения
вероятностей случайного процесса
и
плотность вероятности
.
Функции F1(x1,t1)
и f(x1,t1)
являются простейшими характеристиками,
т.к. описывают случайный процесс в
фиксированные моменты времени. Для
более полной характеристики случайного
процесса необходимо знать связь между
вероятными значениями случайной функции
в произвольные моменты времени t1, t2, :
tn.
Определим n-мерную
функцию распределения вероятностей
случайного процесса
Если
Fn() имеет частные производные
то
эта производная называется n-мерной
плотности вероятности случайного
процесса. Имеет место очевидное равенство
-условие
плотности вероятности, которое зависит
от значений случайного процесса в
предшествующие моменты времени начиная
с начального момента времени t1 и кончая
моментом tn-1.
Случайный
процесс будет марковским, если выполняется
условие
В
этом случае
Условная
плотность вероятности
называется
плотностью вероятности перехода. Если
плотность вероятности перехода зависит
от разности
и
не зависит от конкретных значений ti,
ti-1
то
такой процесс называется однородным.
В исследовании операций большое значение
имеют так называемые марковские
случайные процессы с дискретными
состояниями и непрерывным временем.
В этом случае все его возможные состояния
Q1,Q2,...
можно перенумеровать.
Переход из
состояния в состояние происходит
мгновенно, а моменты времени переходов
являются случайными.
2 Расчет предметных вероятностей
2.1 Задача 1
1
3
3
3 2 1 4
2
4
Рисунок 7
Решение:
3p1=3p2+3p3;
4p2=p1+4p4;
5p3+2p1+4p4;
8p4=2p3+p2;
P1+p2+p3+p4=1;
Решаем
систему уравнений методами Гаусса
1 -4 0 4 0
2 0 -5 4 0
0 1 2 -8 0
1 1 1 1 1
Занулили 1-ый стролбец
1 -4 0 4 0
0 8 -5 -4 0
0 1 2 -8 0
0 5 1 -3 1
Нашли единицу в 2-ом столбце и поменяли местами 3-ю и 2-ую строки
1 -4 0 4 0
0 1 2 -8 0
0 8 -5 -4 0
0 5 1 -3 1
З анулили 2-ой стролбец
1 0 8 -28 0
0 1 2 -8 0
0 0 -21 60 0
0 0 -9 37 1
Получили единицу в 3-ем столбце раделив 3-ю строку на -21
1 0 8 -28 0
0 1 2 -8 0
0 0 1 -20/7 0
0 0 -9 37 1
Занулили 3-ий стролбец
1 0 0 -36/7 0
0 1 0 -16/7 0
0 0 1 -20/7 0
0 0 0 79/7 1
Ответ:
p1 = 0,4556 p2 = 0,2025 p3 = 0,2531 p4 = 0,0886
Рисунок 8- Решение задачи 1, с помощью метода Гаусса
Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel представлены на рисунке 9. Формулы для решения задачи представлены на рисунке 10. Решение задачи с помощью программы Mathcad Professional представлены на рисунке11.
Рисунок 9-Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel
Рисунок 10-Формулы для решения задачи
Решение задачи с помощью программы Mathcad Professional представлены на рисунке11