Уровни Ландау
Состояния заряда в однородном магнитном поле получил Л.Д. Ландау в 1930 г.
Гамильтониан (5.40)
.
В декартовых координатах для поля , с учетом , в частности , используем
,
тогда
. (5.46)
Уравнение Шредингера получает вид
.
Операторы и коммутируют с , тогда решение содержит произведение собственных функций и
,
.
Если движение по оси z не ограниченное, то – любое вещественное число. Подстановка решения в уравнение и деление его слева на ψ дает уравнение для
,
где – циклотронная частота (1.23). Эффективная потенциальная энергия
соответствует потенциальной энергии гармонического осциллятора (3.23), колеблющегося около точки:
(5.47)
с частотой и с амплитудой (3.40) нулевых колебаний , где – магнитная длина. Из (3.32) получаем
,
Уровни Ландау. Спектр энергии движения в плоскости совпадает со спектром гармонического осциллятора. Из (3.39) находим
. (5.48)
Число состояний на уровне Ландау. Состояние зависит от положения центра циклотронного движения , энергия (5.48) не зависит от , поэтому уровень Ландау вырожден. Для движения в области , условие на центр (5.47) ограничивает импульс интервалом . Пространственное ограничение по оси y вызывает квантование . Граничное условие Борна–Кармана (3.8) требует
,
, ,
где N – целое число. Допустимые значения импульса имеют шаг . Учитывая степень вырождения σ состояний по спину и (1.32) , находим кратность вырождения уровня n
. (5.52)
Число состояний на уровне Ландау пропорционально числу квантов магнитного потока, приходящихся на область, доступную для движения заряда.
Эффект Ааронова–Бома
Магнитное и электрическое поля выражаются через потенциалы
, .
В классической электродинамике векторный потенциал , не зависящий от времени, и скалярный потенциал , не зависящий от координат, не действуют на заряд. Д. Бом и Я. Ааронов показали в 1959 г., что фаза волновой функции изменяется под действием скалярного и векторного потенциалов, даже в том случае, когда нет силового действия поля на частицу. Эффект Аронова–Бома подтвержден интерференционными экспериментами и свидетельствует о нелокальности квантового состояния.
Магнитный эффект. Пусть заряд q движется перпендикулярно магнитному полю В по замкнутой траектории. Полуклассическое квантование (1.22) , с учетом дает
, (5.53)
где – магнитный поток через поверхность, ограниченную траекторией Изменение фазы при прохождении частицей траектории n без магнитного поля
.
Вклад магнитного поля в фазу при движении по замкнутой траектории
. (5.54)
Для незамкнутой траектории между точками r0 и r поток обобщается , тогда
. (5.55)
Векторный потенциал изменяет фазу волновой функции.
Осцилляции сопротивления проводящего кольца при изменении магнитного потока исследовали Ю.В. и Д.Ю. Шарвины в 1981 г. Кольцо из магния диаметром (1,52) мкм при температуре ~ 1К обеспечивает длину когерентности электронов, превышающую размер кольца. На платиновые контакты А и В подается напряжение. Через кольцо проходит магнитный поток Ф. Электронная волна разделяется на контакте А, идет по путям 1 и 2, набирая фазы φ1 и φ2, и интерферирует на контакте В с разностью фаз . Учитывая, что при обращении движения набираемая фаза меняет знак, из (5.54) получаем
.
Изменение магнитного потока меняет разность фаз. Максимум интерференции , где , соответствует максимуму тока между контактами. В результате, при изменении магнитного поля сопротивление между контактами осциллирует с периодом
.
Если через кольцо одновременно переносится заряд , то период осцилляций равен .
Электрический эффект. Фаза волновой функции частицы с постоянной полной энергией изменяется пропорционально времени . Заряд q, движущийся в течение времени τ в электрическое поле с потенциалом , за счет потенциальной энергии набирает дополнительную фазу
. (5.57)
В эксперименте электрон в виде волнового пакета испускается в т. A, проходит через отверстия экрана 1 и 2 и движется внутри проводящих цилиндров, экранирующих электрическое поле . За время движения электрона внутри цилиндров внешнее поле включается, поддерживается постоянным и отключается. На всех этапах движения силовое воздействие на электрон отсутствует. Согласно (5.57) на путях 1 и 2 набирается разность фаз , где – разность потенциалов цилиндров. Максимальный интерференционный ток в цепи соответствует , где , тогда . Следовательно, при изменении разности потенциалов ток I и сопротивление цепи осциллируют с периодом
. (5.58)
Эффект Зеемана состоит в расщеплении уровней энергии атома в магнитном поле. Явление обнаружил Питер Зееман в 1896 г.
Для электрона в слабом однородном магнитном поле из (5.40) получаем
,
где ; – гамильтониан взаимодействия электрона в атоме; отброшено малое слагаемое, пропорциональное . Используем калибровку векторного потенциала
,
, , ,
тогда
, ,
,
где – оператор орбитального момента; . В результате
,
где – гамильтониан электрона в атоме без учета магнитного поля; – магнетон Бора. Для состояния с определенной проекцией орбитального момента стационарное уравнение Шредингера
.
Учитывая , находим энергию состояния
, (П.7.16)
где Е0 – энергия без учета магнитного поля.
Результат получается и в квазиклассическом приближении. Магнитный момент орбитального движения электрона (1.37) , помещенный в магнитное поле , получает дополнительную энергию .