1.8. Интерполяция с кратными узлами

Рассмотрим задачу полиномиальной интерполяции функции f(x) в более общей постановке.

Пусть на промежутке [а, b]  D(f) расположены т +1 несовпадающих узлов x0, χ1,..., х_т, и пусть в этих точках известны значения Уо=f(х_о), у1 =f(x1),..., y_m=f(x_m) данной функции, а также некоторые ее производные (максимальный порядок производных в разных узлах различен; в каких-то узлах производные могут быть вовсе неизвестны). Такие узлы будем называть кратными узлами. Конкретнее, будем считать, что заданы:

тогда кратность узла х₀ считается равной к₀, узла x₁ — k₁ ..., узла х_т — k_т.

Предполагая, что суммарная кратность узлов есть

ставим задачу построения многочлена H_n(x) степени n (не выше n), такого, что

где т>0, y^(J) := f^(j)(х_i;) — заданные посредством (1.48) значе-ния функции f(x) и ее производных, и по определению считается Н⁽⁰⁾_n (x_i)=H_n(x_i); у_i⁽⁰⁾ :=y_i. Многочлен Н_п(х) будем называть интерполяционным многочленом Эрмита, а совокупность требований (1.50) — условиями эрмитовой интерполяции.

Формально можно считать, что нахождение такого многочлена состоит в том, чтобы однозначно определить n +1 коэффициентов a₀, a₁,…, а_п его канонического представления

из условий (1.50). В силу предположения (1.49) о суммарной кратности узлов эрмитовой интерполяции, совокупность требований (1.50) можно рассматривать как систему из и + 1 уравнения относительно и + 1 неизвестного — коэффициентов α_λ многочлена (1.51):

Единственность многочлена Н_п(х), удовлетворяющего условиям эрмитовой интерполяции, доказывается, как обычно, от противного. А именно, если Н_п{х) и Н_п(х) —два многочлена степени n, удовлетворяющие одним и тем же n +1 условиям (1.50), то это означает, что многочлен-разность Н_п{х)~ Н_п{х) степени не выше n имеет n +1 корень (с учетом кратностей), следовательно, Н_п (х) - Н_п (х) = 0, отсюда — совпадение Н_n (х) и H_n(х).

' Эрмит Шарль (1822-1901) — французский математик. Принятое обозначение многочлена Н„ (х) связано с французским написанием фамилии Hermite.

Существование многочлена Н_п(х), удовлетворяющего требованиям (1.50), можно вывести из его единственности. Действительно, возьмем в качестве исходной функции у = f(x) функцию у = 0. Все ее значения и значения производных равны нулю, поэтому условия (1.50) для нее имеют вид

и таких условий n + 1. Получается, что многочлен n-й степени Н_п{х) имеет n + 1 корень (с учетом кратностей); значит, это есть нуль-многочлен. А это означает, что все а_k в его выражении (1.51) равны нулю. С другой стороны, (1.52)— это однородная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а_k, которая, в силу единственности такого набора а_k, имеет только тривиальное решение. Отсюда следует неравенство нулю ее детерминанта, влекущее разрешимость такой системы при любых правых частях, т.е. формальное существование наборов коэффициентов а_к (к = 0, 1, ...,n), обеспечивающих выполнение условий эрмитовой интерполяции (1.50) для любой заданной с помощью (1.48) функции f(x).

Выявление общего вида интерполяционных многочленов Эрмита Н_п (х) представляет непростую задачу и требует привлечения определенных сведений из теории функций комплексной переменной [78 и др.]. Рассмотрим одну из возможных процедур фактического построения таких' многочленов, не требующую знания их общего вида (см., например, [14]; другой способ можно найти в [40, 94]).

Пусть L_m(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по данным т + 1 значениям y_i;:=f(х_i;), i = 0,1,..., m. Как и ранее (см.(1.10)), будем пользоваться обозначением Π _m+1 (χ) := (χ - χ₀)(x – x₁)... (χ - x_m ). Так как по условию число т заведомо не превосходит п, то по теореме о делении многочлена с остатком искомый многочлен Эрмита Н_п (х) можно представить в виде

где H_n-(m+1) (x) — некоторый неизвестный пока многочлен степени п-т-1.

Для построения многочлена Н_п-(_т+1)(х) будем привлекать информацию о производных данной функции, т.е. равенства H'_n(x_i) = y'_i в тех узлах х_i,·, где первые производные, в соответствии с (1.48), заданы (информация о самих значениях функции уже полностью исчерпана: в силу L_m(x_i) = y_i, и П_m+1(x_i,) = 0 для всех Xi от x₀ до х_т, согласно (1.53), будет и H_n (x_i) = y_i при любых i{0,1, ...,т}).

Продифференцировав равенство (1.53), имеем

Так как П_m+1(x_i) = 0, то в тех узлах x_i, где по условию эрмитовой интерполяции справедливо Н'_n(х_;) = у’_i, можно записать

Отсюда выражаем значения многочлена H_n-(m+1)(x) в этих узлах

:

Правая часть этого равенства может быть вычислена; обозначим ее через z’_i. Таким образом, в ряде узлов x_i известны значения многочлена H_n-(m+1)(x_i) = z'_i, по которым этот многочлен однозначно восстанавливается обычной лагранжевой интерполяцией, если в условиях (1.48) не содержится производных порядка выше первого (т.е. нет ни одного узла кратности больше 1); подстановка найденного многочлена H_n-(m+1)(x) в (1.53) приводит к искомому интерполяционному многочлену Эрмита. Если же в исходной информации (1.48) об f(x) имеются значения производных более высокого порядка, чем первый, то для восстановления многочлена H_n-(m+1)(x) ставится задача эрмитовой же интерполяции, для чего, наряду с полученными его значениями z'_i, находят значения его производных путем дифференцирования равенства (1.54) (возможно неоднократного, в зависимости от максимального порядка заданных производных функции f(x)). Эта процедура построения интерполяционных многочленов Эрмита' все более низких степеней продолжается до исчерпывания всей информации (1.48) о функции и ее производных.

Рассмотрим реализацию описанного процесса эрмитовой интерполяции на простом примере, демонстрирующем возможность восстановления многочлена n-й степени по его значениям и значениям некоторых его производных при суммарной кратности узлов n + 1.

Пример 1.7. Пусть сведения о некоторой функции у = f(x) представлены следующей дискретной информацией:

i	xi	yi	y’i	y’’i
0	-1	0	-2
1	0	1	0	-4
2	1	0	2

В соответствии с обозначениями (1.48) здесь: m = 2; k0 - 1 == 1. k1—1 = 2, k₂ —1 = 1 => n + 1 = kо+k1+k2=7 n = 6. Таким образом, по данным сведениям о функции у = f(x), сосредоточенным в трех узлах х₀ =-1, x1 =0, x2 =1 кратности, соответственно, 2, 3, 2, следует строить интерполяционный многочлен Эрмита Η6(χ).

Согласно предложенной выше схеме, сначала, пользуясь столбцами χ_i, у_i, таблицы данных, записываем интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени

В заключение отметим, что для (n+ 1)-кратно дифференцируемой функции f(x) остаточный член интерполяционной формулы Эрмита имеет вид [14, 101]

где k_o+ki+...+ k_m =п + 1 — суммарная кратность узлов х0,Х1,...,х_т, а ξ — некоторая точка из промежутка [а, b] [x₀, x_т\- Характерно, что в случае, когда все узлы — простые (однократные), т.е. т = п, интерполяционный многочлен Эрмита есть не что иное, как обычный многочлен Лагранжа L_n(x), и остаточный член (1.56) совпадает с выведенным ранее его остаточным членом (1.12). Если же вся информация об f(x) сосредоточена в одном узле х₀, т.е. х_о является узлом кратности и + 1, то многочлен Эрмита — это просто многочлен Тейлора с остаточным членом

Упражнения*^

1.1. Для функции /(*), заданной тремя значениями /(1)=0.71, /(2)=3.31 и /(3) = 0.18, найдите коэффициенты интерполирующего ее

многочлена Ρ₂(*)^=α0^+αΐ*^+ί!Γ2*² непосредственно из условий интерполяции.

1.2. Привлекая интерполяционные соображения, докажите, что выражение

тождественно равно 1 при любых попарно различающихся а, Ъ и с.

' Предполагается, что все фигурирующие в упражнениях функции обладают нужной гладкостью.

1.9. В каких точках выполняется условие лагранжевой интерполяции:

а) для многочлена Бесселя второй степени, построенного по точ- - кам х__х, х₀, х_и х₂ ?

б) для многочлена Стерлинга третьей степени, построенного по точ кам *_₂, х__и х₀, х_и х₂ ?

10. По аналогии с формулой (1.43) выведите вторую интерполяци онную формулу Ньютона, пригодную для интерполирования по нерав ным промежуткам в конце таблицы значений сеточной функции.

11. Для функции f(x), заданной таблицей

х 0.5 0.7 1.0 1.4 2.0 2.6 4.0 /(*) | -0.555 | -0.239 | 0.000 | 0.114 | 0.139 | 0.123 | 0.082 '

составьте таблицу разделенных разностей, запишите подходящие для вычисления /(0.6), /(1.5) и /(3) конкретные интерполяционные многочлены и найдите эти приближенные значения.

12. Докажите, что в примере 1.6 (см. §1.7) выполняются достаточ ные условия сходимости итерационного процесса (1.47).

13. Некоторая зависимость у = у(х) задана следующей таблицей:

х 1 1 I 7 I 13 I 19 I 25 ~ 10.21361 0.40541 0.85225 1.79725 3.78183

Обратным интерполированием установите, каким значениям х отвечают значения у = 03Ш и> = 1.159.

1.14. Найдите многочлен Р{х), данные о котором представлены сле дующей таблицей:

х I РQc) | Р'(х) I Р\х)

-1 15 -14 -2

0 4 _-7 '

2 18