Действия над событиями

Суммой А+В ( ) событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества  .

Пример.

Испытание: бросаем игральную кость.

Событие : выпало четное число очков.

Событие  : выпало число очков меньше, чем 4.

Событие: выпало 1, 2, 3, 4 или 6 очков.

Произведением АВ ( ) событий и называется событие, состоящее в том, что произошли оба события и одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств и .

Пример.

Испытание: бросаем игральную кость.

Событие : выпало четное число очков.

Событие  : выпало число очков меньше, чем 4.

Событие: выпало 2 очка.

Разностью (дополнением) событий и называется событие , которое означает, что происходит событие , но не происходит событие , т.е. .

Т.е. множество содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в  .

Противоположным к событию называется событие , означающее, что событие не происходит ( ). Т.е. множество состоит из элементарных исходов, не входящих в .

События и называют несовместными, если  .

События называют попарно несовместными, если для любых , где , , события и несовместны.

Говорят, что событие влечёт событие , и пишут , если всегда, как только происходит событие , происходит и событие . На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество , одновременно входит и в множество , т.е. содержится в .

Формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок , где .

Заметим, что удобно рассматривать , полагая, по определению, .

Пример. Всеми различными перестановками 3 элементов будут: (123); (132); (213); (231); (312); (321). В самом деле: 3!=1∙2∙3=6.

Размещениями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений .

Пример. Всеми различными размещениями по 2 из 3 элементов будут: (12); (13); (21); (23); (31); (32). В самом деле: .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом (т. е. порядок расположения этих элементов не имеет значения).

Число сочетаний .

Пример. Всеми различными сочетаниями по 2 из 3 элементов будут: (12); (13); (23). В самом деле: .

Пример размещений. Сколько можно составить сигналов из флажков различного цвета, взятых по ?

Решение. Искомое число сигналов .

Пример сочетаний. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего деталей?

Решение. Искомое число способов .

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством .

Замечание. Выше предполагалось, что все элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями , где .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а другой объект может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами.

Правило произведения. Если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.

Пример произведения сочетаний. Сколькими способами можно выбрать 5 деталей, 3 из которых окрашенные (следовательно 2 неокрашенные), из ящика, содержащего 10 деталей, 7 из которых окрашенные?

Решение. Всех окрашенных деталей 7 и неокрашенных 10-7=3. Поэтому: объект А – 3 окрашенные детали из 7 можно выбрать способами и объект В – 2 неокрашенные детали из 3 можно выбрать способами. Искомое число способов: .

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем из них - красные, - синие и - белый.

Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар.

Можно ли охарактеризовать эту возможность числом?

Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события . Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием).

Элементарные исходы обозначим через и т.д.

В нашем примере возможны следующие элементарных исходов: - появился белый шар; - появился красный шар; - появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны). Таким образом , в данном случае Ω={ω₁, ω₂, ω₃ ,ω₄ ,ω₅ ,ω₆}. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию (появлению цветного шара) следующие исходов: , , , , , т. е. А={ω₂, ω₃ ,ω₄ ,ω₅ ,ω₆}.

Таким образом, событие наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих ; в нашем примере наблюдается, если наступит , или , или , или , или .

В этом смысле событие подразделяется на несколько элементарных событий (     ); элементарное же событие не подразделяется на другие события.

В этом состоит различие между событием и элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события и обозначают через .

В рассматриваемом примере всего элементарных исходов ; из них благоприятствуют событию .

Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна .

Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, т. е. .

Итак, вероятность события определяется формулой , где - число элементарных исходов, благоприятствующих ; - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае , следовательно, .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае , следовательно, .

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае , значит, , следовательно, .

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии.

Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.

Пример. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Решение: Для начала найдем все равновозможные элементарные, попарнонесовместные и образующие полную группу событий, исходы: Ω={ , , , , , , , }.

Событие — два «орла» и «решка» — произошло три ( , , - благоприятствующие) раза, т. е. Е={ , , } .

Поэтому: .

Пример. Стандартная игральная кость брошена два раза. Какова вероятность того, что сумма очков равна или больше?

Решение: Найдем все возможные исходы.

Общее количество очков, получаемое при двукратном бросании игральной кости.

Очки при втором броске	Очки при первом броске
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Итак, в из возможных исходов сумма очков равна или больше, следовательно:

.

По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту числа испытаний m₁, в которых событие A появилось, к общему числу n₁ фактически произведенных испытаний или число, близкое к ней.

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически.

Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Пример. Отдел технического контроля обнаружил нестандартных детали в партии из случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей .

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только , но и ; и т. д.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через , то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область — часть области , равна

.

Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых и см соответственно.

Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение: Площадь кольца (фигуры ) .

Площадь большого круга (фигуры ) .

Искомая вероятность .

Замечание . В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю): справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно).

В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

14