5.3. Формально-аксіоматичні системи інтуїціоністської логіки

Розглянемо формально-аксіоматичні системи інтуїціоністської логіки пропозиційного рівня.

Аксіоматичні системи гільбертівського типу для інтуїціоністської ПЛ називаються інтуїціоністськими пропозиційними численнями (ІПЧ).

Множина правил виведення ІПЧ складається з єдиного правила:

МР) A, AB B – modus ponens

Множина аксіом ІПЧ визначається такими схемами аксіом:

А1) A(BA)

А2) (A(BC))((AB)(AC))

А3) A&BA

А4) A&BB

А5) A(BA&B)

А6) AAB

А7) BAB

А8) (AC)(BC))(ABC)

А9) (AB)((AB)A)

АI) A(AB)

Зауважимо, що при заміні схеми аксіом АI схемою аксіом AA, отримаємо пропозиційне числення класичного типу, еквівалентне пропозиційному численню, розглянутому в 2.3.

Кжна теорема ІПЧ є теоремою класичного ПЧ, але зворотне невірне. Зокрема, в ІПЧ не можна вивести формули AA, AA, проте можна довести AA.

Аксіоматичні системи генценівського типу для інтуїціоністської ПЛ називаються інтуїціоністськими секвенційними пропозиційними численнями (ІСПЧ). Зауважимо, що Г.Генцен одночасно побудував секвенційні числення для класичної логіки та інтуїціоністської логіки. Різні варіанти інтуїціоністських секвенційних числень наведені в [22, 32, 11].

Побудуємо тут варіант ІСПЧ, тісно пов'язаний з реляційною семантикою інтуїціоністської логіки. Такий підхід до побудови секвенційних числень та семантичних таблиць інтуїціоністської логіки розглянутий в [32].

Інтуїціоністською специфікацією назвемо слово вигляду  чи , де  – інтуїціоністський префікс, що є іменем світу, в якому специфікована формула має відповідне значення. Інтуїціоністський префікс – це слово, символами якого є імена натуральних чисел.

Усі формули початкової секвенції мають порожній інтуїціоністський префікс.

Для префіксів пишемо , якщо  має вигляд . Якщо  та , то пишемо <. Для префіксів  означає, що _, тобто світ  є наступником світу .

Світ вигляду n назвемо безпосереднім наступником світу .

Будемо вважати, що замкненість секвенції (суперечність) дає пара специфікованих формул вигляду _ та _. Це відповідає умові, що формула, істинна в світі , зберігає істинність в усіх його наступниках.

Крім того, введемо такі додаткові умови замкненості секвенції:

– поява в секвенції пари формул _ та _;

– поява в секвенції пари формул _ та _.

Зауважимо, що пара формул _ та _, де , не дає замкненості секвенції.

Секвенційні форми для випадку ІСПЧ модифікуються таким чином.

Форми _, _, _&, _& аналогічні відповідним формам секвенційних числень класичної логіки. Вони не змінюють інтуїціоністський префікс нових формул – предків основної формули.

_ _

_& _&

Для форм _ та _ нові формули стверджуються чи заперечуються не в світі  основної формули висновку, а в світі-наступнику n. При цьому кожний раз таке n вибирається новим (на шляху від початкової секвенції).

_

_

Тут n – нове, відмінне від yсіх імен натуральних чисел, що фігурують в префіксах формул світів секвенції-висновку.

Секвенційні форми _ та _ вимагають багатократного розбиття основної формули, адже при появі нових світів-наступників світу  тут виникають спростовувані формули, які не можуть автоматично переноситися на світи-наступники.

_

Тут ₁,…, _m – імена усіх світів-наступників світу , які фігурують в секвенції-висновку.

Виконання форми _ означає побудову піддерева, коренем якого є секвенція-виcновок.

Нехай така секвенція-виcновок  має вигляд _AB, . Нехай ₁,…, _m – імена усіх світів-наступників світу , які фігурують в  (це означає _i для всіх i{1,…, m}, при цьому вважаємо =₁). Позаяк із AB випливає _i AB для всіх i{1,…, m}, то виконання форми _ зводиться до побудови піддерева  з коренем , листами якого можуть бути всеможливі секвенції вигляду ₁, ..., _m, , де кожна формула _i має вигляд чи . Якщо для деякої вершини будованого піддерева маємо , то, враховуючи збереження істинності при русі по світах згідно , подальше розбиття на шляхах з цієї вершини формули _AB по світах _j таких, що _i_j, надлишкове. При отриманні замкненої секвенції подальше розбиття теж не виконується.

Таким чином, секвенційна форма _ має вигляд

_

Приклад 5.3.1. Побудуємо виведення секвенції _AB(AB).

_AB(AB)

_AB, _1AB

_AB, _12A, _12B

_A, _12A, _12B  _B, _12A, _12B 

Отримали замкнене секвенційне дерево тому формула AB(AB) інтуїціоністськи істинна.

Приклад 5.3.2. Побудуємо виведення секвенції _(AB)AB.

_{ }(AB)AB

_AB, _1AB

_AB, _1A, _1B

_AB, _12A, _1B

_AB, _A, _12A, _1B _AB, _B, _12A, _1B 

_AB, _A, _2A, _12A, _1B  _AB, _A, _12B, _12A, _1B

Отримали незамкнене секвенційне дерево, яке дозволяє вказати контрмодель М таку, що М | (AB)AB:

12

1

Згідно незамкненого листа секвенційного дерева задаємо I(A, 1) = F, I(B, 1) = F, I(A, 12) = T, I(B, 12) = T.

Розглянемо тепер формально-аксіоматичні системи інтуїціоністської логіки предикатів 1-го порядку.

Аксіоматичні системи гільбертівського типу для ІЛП називаються інтуїціоністськими численнями предикатів (ІЧП). Логічні аксіоми ІЧП задаються схемами аксіом ІПЧ, до яких додаємо кванторні схеми:

АQ1) AxA;

АQ2) xAA.

Множина правил виведення ІЧП складається з трьох правил:

МР) A, AB B – modus ponens;

П) AB  xAB, якщо x не вiльна в B,  правило -введення;

П) AB AxB, якщо x не вiльна в A,  правило -введення.

Аксіоматичні системи генценівського типу для інтуїціоністської логіки 1-го порядку називаються інтуїціоністськими секвенційними численнями предикатів (ІСЧП).

Базовими секвенційнтими формами ІСЧП є базові секвенційні форми ІСПЧ, до яких додаються кванторні секвенційні форми:

_ при умові, що вільна змінна у{хA}.

_ .

_ .

При застосуванні _ та _ {z₁,…, z_т} – множина вільних імен множини доступних формул секвенції-висновку та її наступників.

_ при умові, що вільна змінна у{хA}.

Тут n – нове, відмінне від yсіх імен натуральних чисел, що фігурують в префіксах формул світів секвенції-висновку.

Основні результати теорії доведень класичної логіки переносяться на випадок інтуїціоністської логіки. Для інтуїціоністських числень справджуються відповідні теореми коректності та повноти, Г.Генцен довів свою теорему про нормальну форму (елімінацію перетинів) одночасно для класичної логіки та інтуїціоністської логіки. В певному розумінні інтуїціоністська логіка слабша за класичну, адже не кожна теорема інтуїціоністського числення є теоремою класичного числення. У той же час класична логіка ізоморфно занурюється в інтуїціоністську логіку (теорема Глівенка), тобто класичну логіку можна трактувати як підсистему інтуїціоністської логіки.

ВПРАВИ

1. Збудуйте реляційну модель М інтуїціоністської логіки таку, що М | (AB)(BC)(AC). Зауважимо, що (AB)(BC)(AC) – тавтологія класичної логіки.

2. Узагальнюючи задачу 1, збудуйте таку реляційну модель М інтуїціоністської логіки: М | (A₁A₂)(A₁A₃)…(A₁A_n)…(A_n–1A_n). Це засвідчує, що інтуїціоністська логіка не може задаватися жодною скінченною множиною істиннісних значень.

3. Збудуйте реляційну модель М інтуїціоністської логіки таку, що М |= xP(x) та М | xP(x).

4. Збудуйте виведення в ІПЧ та в ІСПЧ для наступних формул:

1) AA; 2) AAB;

3) (AA); 4) AA;

5) ABA&B; 6) (AB)AВ);

7) АВC)(BАC); 8) АВC)((АВ)(АC));

5. Доведіть в ІПЧ та в ІСПЧ:

1) якщо |AВ та |ВС, то |AС;

2) якщо |(AВ) та |A, то |В.

6. Збудуйте у відповідних інтуїціоністських численнях виведення чи доведіть його відсутність, збудувавши контрмодель, для таких формул:

1) (AA);

2) АВА;

3) А&В)AB;

4) АВ)A&B;

5) AB А&В);

6) A&B АВ);

7) АВ)А)A;

8) АВ)(ВА);

9) ВА)(АВ);

10) АВ)(ВА);

11) ВА)(АВ);

12) ВА)(АВ);

13) АВC)(AB)АC);

14) x(P(x)P(x)).

8