3.1.2.3. Синтез в базисе не и
Напомним, что элемент НЕ И реализует функцию, представляющую функционально полную систему, следовательно, любая комбинационная схема может быть построена только из элементов НЕ И.
Рассмотрим отдельную ДНФ, предположив, что в нашем распоряжении имеются элементы НЕ И с любым числом входов. Пусть в предлагаемом примере ДНФ имеет вид
. (1)
Расставим инверсии и скобки следующим образом:
. (2)
Опустив скобки на переменные по правилам Де Моргана, получим выражение, совпадающее с (1). Из эквивалентности выражений (1), (2) следует, что, построив схему в базисе ДНФ, используя выражение (1), можно затем заменить все элементы на НЕ И согласно выражению (2). В результате имеем схему:
Правила Де Моргана:
(
)=
&
(
)=
Ú
=
3.1.2.4. Синтез в базисе не или
Элемент НЕ ИЛИ также реализует функцию, представляющую функционально полную систему, следовательно, любая комбинационная схема может быть построена из элементов НЕ ИЛИ. Рассмотрим произвольную ДНФ, предположив, что в нашем распоряжении имеются элементы НЕ ИЛИ с произвольным числом входов. Пусть в предлагаемом примере ДНФ имеет вид
. (3)
Перейдем к выражению (4):
. (4)
Опустим инверсии со скобок на переменные. Получим выражение (5)
. (5)
Сравнив выражения (3) и (5), видим, что они представляют двойственные функции. Следовательно, при построении схемы в базисе ДНФ с последующей заменой всех элементов на НЕ ИЛИ реализуется функция, двойственная исходной функции.
Для построения заданной функции необходимо найти представление двойственной ей функции в виде ДНФ, а затем заменить все элементы построенной схемы на НЕ ИЛИ. Проиллюстрируем сказанное примером. Построим для выражения (3) двойственную функцию, представим ее в виде кратчайшей ДНФ:
.
Тогда
исходная функция
реализуется схемой рис. 3.8.
Заметим, что при синтезе схем либо в базисе НЕ И, либо в базисе НЕ ИЛИ удобно воспользоваться кратчайшими или минимальными ДНФ, представляющими функцию или двойственную функцию.
В заключение этого раздела приведем пример синтеза n-разрядного сумматора.
Пусть
слагаемые записаны в виде булевых
векторов в регистрах X,
Y,
результат сложения представляется (n
+ 1)-разрядным регистром Z;
,
– переменные, сопоставляемые i-му
разряду слагаемых;
– переменная, сопоставляемая i-му
разряду, представляющему сумму. Введем
переменную
для представления результатов переноса
из i-го
разряда в (i
+ 1)-й. Воспользовавшись введенными
переменными, опишем работу двух блоков
сумматора, формирующих результат
сложения в i-м
разряде сумматора, и перенос из i-го
разряда в (i
+ 1)-й. Для i
> 1 имеем
=
Å
Å
,
= Ú Ú .
Первая функция обращается в 1, когда нечетное число слагаемых, участвующих в формировании результата, принимают значение 1, что определяется операцией сложения по модулю два в двоичной системе счисления. Вторая функция обращается в 1, когда, по крайней мере, две из трех переменных принимают значение 1, что согласуется с условиями возникновения переноса в двоичной системе счисления.
Преобразуем первую функцию в ДНФ:
Ú
Ú
Ú
.
В результате имеем совершенную ДНФ. Склеивание ее конъюнкций невозможно. Следовательно, совершенная ДНФ совпадает с сокращенной, из которой ни одна конъюнкция не может быть выброшена. Делаем заключение: полученная ДНФ является одновременно минимальной и кратчайшей.
Что касается ДНФ второго выражения, то ее конъюнкции не содержат отрицаний переменных, следовательно, это ДНФ сокращенная. Булева функция, представляющая перенос из i-го разряда в (i + 1)-й, является монотонной, следовательно, эта сокращенная ДНФ является одновременно минимальной и кратчайшей ДНФ.
Каждую из ДНФ реализуем отдельной одновыходной комбинационной подсхемой, например в базисе ДНФ. Блок-схема сумматора (рис. 3.9) представляет комбинационную схему с 2n входами и (n + 1) выходами.
