- •Е.В. Сорокина дискретная МатЕматика
- •1. Множества и основные операции над ними
- •1.1. Множества, способы их задания Вопросы для повторения
- •1.2. Основные операции над множествами Вопросы для повторения
- •Тестовые задания
- •2. Основные понятия комбинаторики
- •2.1. Перестановки, размещения и сочетания Вопросы для повторения
- •2.2. Бином Ньютона Вопросы для повторения
- •Тестовые задания
- •3. Алгебра логики
- •3.1. Логика высказываний и предикатов
- •Вопросы для повторения
- •3.1.1. Определения и свойства логических операций. Сложные высказывания
- •3.1.2. Таблицы истинности
- •3.2. Булевы функции
- •Вопросы для повторения
- •3.2.1. Определения и свойства логических операций. Сложные высказывания
- •3.2.2. Минимизация булевых функций с помощью карт Карно
- •3.2.3. Анализ и синтез комбинационных устройств в заданном базисе
- •Тестовые задания
- •4. Элементы теории графов
- •4.1. Основные понятия теории графов Вопросы для повторения
- •4.2. Сетевое планирование Вопросы для повторения
- •5. Теория алгоритмов и конечные автоматы
- •5.1. Алгоритмы Вопросы для повторения
- •5.2. Построение конечных автоматов Вопросы для повторения
- •Список рекомендуемой литературы
- •Оглавление
- •Дискретная математика
Тестовые задания
Пусть Х, Y – произвольные множества, ; – пустое множество.
1. Найти .
Ответы:
1. 2. 3. Х
2. Найти .
Ответы:
1. 2. Y 3.
3. Найти U\Y.
Ответы:
1. 2. 3.
2. Основные понятия комбинаторики
Пусть имеется множество, содержащее n различных элементов. Каждое упорядоченное подмножество состоящее из k элементов, взятых из n данных называется размещением из n элементов по k элементов (n k 0): .
Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов: .
Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n по k элементов: .
Свойства сочетаний:
1. . 2. .
Двучлен (а+b)n носит название бинома Ньютона, где а, b – произвольные числа, а n – натуральное произвольное число. Для произвольных чисел а и b и произвольного натурального числа n справедлива формула Ньютона:
= .
Правая часть формулы называется разложением натуральной степени бинома. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.
Отметим некоторые характерные особенности формулы Ньютона.
1. Правая часть формулы Ньютона содержит (n + 1) слагаемых. 2. – формула (k + 1) члена разложения бинома Ньютона. 3. Показатели степени при a в каждом следующем члене разложения на единицу меньше, чем в предыдущем, показатели степени при b на единицу больше. Сумма показателей степени при a и b в каждом члене разложения равна n. 4. Биномиальные коэффициенты разложения, одинаково удаленные от конца разложения, равны, так как по свойству сочетаний = . 5. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n, где n – показатель бинома.
2.1. Перестановки, размещения и сочетания Вопросы для повторения
1. Что называется перестановкой?
2. Что называется размещением?
3. Что называется сочетанием?
2.1. Вычислить: .
Решение
= .
2.2. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
Решение
Число различных двузначных чисел равно числу размещений из 4 элементов по 2, т.е. . Положим n = 4, k = 2. Получим = = =4 3 = 12.
2.3. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.
Решение
Цифра пять обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов. Получим Р5 = 5! = 1 2 3 4 5 = 120.
2.4. Группу курсантов должна экзаменовать по математике комиссия из двух преподавателей. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в училище пять преподавателей по математике?
Решение
Способы составления комиссии отличаются друг от друга хотя бы одним преподавателем, т.е. комиссия – это подмножество, состоящее из двух различных элементов, множества, состоящего из 5 различных элементов. Число таких способов будет
.
2.5. Найти n, если
2.6. В розыгрыше первенства по футболу было сыграно 153 матча. Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в розыгрыше первенства?
2.7. На пять сотрудников выданы три путевки. Сколькими способами их можно распределить, если:
1) все путевки различны;
2) все путевки одинаковы?
2.8. Во взводе три сержанта и 20 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?
2.9. Во взводе 25 человек. Нужно выбрать замкомвзвода, журналиста и книгоношу. Сколькими способами это можно сделать?
2.10. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены различные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые: 1) начинаются цифрой 3; 2) не начинаются цифрой 5; 3) начинаются с числа 54; 4) не начинаются с числа 54; 5) являются четными; 6) делятся на 4?
2.11 Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно получить, если использовать: 1) три цвета; 2) четыре цвета?