![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 12. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра
- •12.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
- •9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве . Будем рассматривать интегралы вида:
Интегралы, зависящие от параметра
9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
. (28)
Предполагается, что интеграл в правой части существует как интеграл Римана. Переменная у называется параметром.
Теорема
15. Если функция
непрерывна на замкнутом прямоугольнике
,
то функция
непрерывна на отрезке
.
Пусть
- произвольная точка
на отрезке
,
функция
,
непрерывная на прямоугольнике П,
равномерно непрерывна на нем (по теореме
Кантора). Из равномерной непрерывности
следует, что
и
для
и
такого, что
выполняется
.
Тогда
.
Таким
образом, получаем, что для
,
удовлетворяющему условию
существует предел
,
т.е.
непрерывна на
.
<
Следствие.
Если
непрерывна на П, то выполняется равенство:
.
Доказательство
следует из теоремы 15 и из теоремы для
заданной на области П и интегрируемой
на
.
(см. «Вычисление двойного интеграла»).
Теорема
16. Если функция
и её частные производные
непрерывны на прямоугольнике П, то
функция
непрерывно дифференцируема на отрезке
и
или
,
т.е. интеграл (40), зависящий от параметра, можно дифференцировать по параметру.
Пусть
,
.
В силу следствия к теореме 27 имеем
.
Получаем,
что
.
Тогда по правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом будет:
,
причём
в силу теоремы 27
непрерывна на
.
<
Следствие.
Пусть
и
непрерывны на П, а функции
и
дифференцируемы на отрезке
,
причём
и
для
.
Тогда справедлива формула
.
Эта формула называется формулой дифференцирования интеграла с переменными пределами интегрирования.
Рассмотрим функцию
,
.
Запишем её как сложную функцию
,
где
,
и найдём
как производную сложной функции у:
.
Так как
;
;
,
то, подставляя полученные выражения для производных в формулу для вычисления , получаем доказываемую формулу. ■
9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве . Будем рассматривать интегралы вида:
. (29)
Пусть
несобственный интеграл (29) сходится. В
этом случае говорят, что несобственный
интеграл сходится на отрезке
.
Легко
увидеть из признака Коши для несобственных
интегралов, что интеграл (29) сходится в
том и только в том случае, когда
существует предел
.
Это означает, что для
такое, что для
выполняется
Определение
5. Несобственный интеграл (29) называется
равномерно сходящимся на
,
если для
такое, что
выполняется
.
Таким
образом, в отличие от определения простой
сходимости требуется, чтобы число В
было зависящим только от
и не зависит и не зависит от у.
Теорема 17. (Признак Вейерштрасса). Пусть:
функция
интегрируема по Риману по переменной х на любом отрезке
;
функция
определена на промежутке
, причём
для
; (30)
3)
интеграл
сходится,
тогда
несобственный интеграл (29) сходится
абсолютно и равномерно на
.
По признаку сравнения для несобственных интегралов в силу (30) несобственный интеграл (29) сходится абсолютно.
Из
сходимости интеграла (29) следует, что
такое, что для
выполняется
.
В силу (30) имеем
для
и
.
Следовательно, несобственный интеграл (29) сходится равномерно на . <
Теорема
18. Пусть функция
непрерывна на множестве
и интеграл (29) сходится равномерно на
.
Тогда функция
непрерывна на
.
Пусть
- произвольная точка
,
т.е.
.
Тогда
. (31)
В
силу равномерной сходимости несобственного
интеграла (29) для
такое, что для
,
тогда
. (32)
Фиксируем
некоторое
.
Функция
непрерывна на прямоугольнике
,
следовательно, по теореме Кантора она
равномерно непрерывна на П, т.е.
такое, что для
выполняется
.
Отсюда следует, что
. (33)
Из (31), (32), (33) следует, что
,
при
.
Следовательно,
непрерывна в произвольной точке.
■
Теорема
19. Пусть
непрерывна на множестве
и интеграл (29) сходится равномерно на
.
Тогда
.
ÿ
Пусть
,
тогда в силу следствия к теореме 15 имеем
. (34)
Из
равномерной сходимости интеграла (29)
следует, что для
,
что при
и
получаем
и тогда
.
Следовательно,
. (35)
Переходя
в равенстве (34) к пределу при
,
в силу (35) получим:
.
<
Теорема
20. Пусть функция
,
частная производная
и интеграл (29) непрерывны на
,
а интеграл
- сходится равномерно
на
.
Тогда функция
непрерывно дифференцируема на
и справедлива формула:
.
□ Пусть
,
.
В силу теоремы 19, имеем
.
Таким
образом,
.
Отсюда следует, что
.
В
силу теоремы 18, производная
непрерывна на
.
<
Пример
16. Вычислить
,
.
Решение.
Будем считать b -
фиксированной величиной, а a
- параметром. Обозначим
,
тогда
.
Легко проверить, что интеграл
сходится для
.
Пусть
,
.
Интеграл
,
т.е. сходится. Тогда по признаку
Вейерштрасса следует равномерная
сходимость по параметру a
интеграла
на отрезке
.
В этом случае несобственный интеграл
можно дифференцировать по параметру
под знаком интеграла
при
.
Тогда
.
Так как
,
то
.
Таким образом, получаем
.