- •Содержание
- •Тема 1. Кинетика биологических процессов. 10
- •Вводная тема. Техника безопасности.
- •Контрольные вопросы.
- •Тема 1. Кинетика биологических процессов. Теоретическая часть
- •Экспериментальная часть
- •Задание №l. Определение энергии активации сокращений сердца лягушки по величине q10
- •Задание №2. Определение энергии активации сокращений сердца лягушки с помощью графика Аррениуса.
- •Задание№3. Определение температурного коэффициента гемолиза эритроцитов крови человека
- •Методика выполнения работы.
- •Задание №4. Определение температурного коэффициента и энергии активации фотосинтеза в веточке элодеи
- •Методика выполнения работы.
- •Литература:
- •Контрольные вопросы.
- •Тема 2. Математическое моделирование биофизических процессов. Теоретическая часть
- •Практическая часть
- •Задание 1. Модель естественного роста (модель Мальтуса)
- •Выполнение работы
- •Задание 2. Модель изменения численности популяции с учетом внутривидовой конкуренции (модель Ферхюльста)
- •Выполнение работы
- •Задание 3. Циклические математические модели: модель "хищник-жертва" (модель Вольтера-Лотки)
- •Выполнение работы
- •Литература:
- •Контрольные вопросы.
- •Тема 3. Информация и живой организм. Теория информации. Теоретическая часть
- •Практическая часть Задание 1. Изучение информационно-энтропийных характеристик распределения.
- •Задание 2. Изучение информационно-энтропийных характеристик сердечного ритма
- •Тема 4. Изучение электрической активности органов живых объектов Теоретическая часть
- •Практическая часть Задача 1. Изучение работы электрокардиографа
- •Методика
- •Ход работы
- •Обработка результатов
- •Задача 2. Регистрация ээг человека и ее изменений при различных функциональных пробах.
- •Методика
- •Ход работы
- •Обработка и обсуждение результатов
- •Литература:
- •Контрольные вопросы.
- •Тема 5. Биофизика рецепции Теоретическая часть
- •Экспериментальная часть Задание 1. Изучение спектральной характеристики уха на пороге слышимости.
- •Подготовка к работе
- •Порядок работы
- •Воздушное звукопроведение
- •Костное звукопроведение
- •Литература:
- •Контрольные вопросы
Задание 3. Циклические математические модели: модель "хищник-жертва" (модель Вольтера-Лотки)
Среди допущений, введенных в модели 1, снимем допущение 4. Пусть в некотором пространстве живут два вида особей: зайцы (жертвы) и рыси (хищники). Зайцы питаются растительной пищей, имеющейся всегда в достаточном количестве (между ними отсутствует внутривидовая борьба). Рыси могут питаться только зайцами.
Введем величины:
х - число жертв в момент t;
у - число хищников в момент t;
Уравнения баланса между численностью рожденных и гибнущих особей:
Жертвы: ; хищники:
γx, δxy - скорость размножения
σx, βy - скорость естественной гибели
αxy - скорость гибели за счет встречи с хищником
или (1)
Это сложная система нелинейных дифференциальных уравнений. Сначала найдем стационарное решение х = const, у =const, то есть dx/dt=0, dy/dt=0. Система дифференциальных уравнений при этом сводится к алгебраическим:
XСТ(ε-αyСТ)=0; YСТ(δxСТ -β) (2)
Рассмотрим решения:
XСТ= β/δ; YСТ= ε/α (3)
Упростим систему уравнений (1), предполагая, что произошли малые отклонения численности хищников V(t) и жертв U(t) относительно стационарных значений:
x=xСТ+U(t), U<xСТ,U<yСТ (4)
y=yСТ+V(t), V<yСТ,V<xСТ (5)
Тогда
dU/dt=xСТ(ε-αyСТ)+U(ε-αyСТ)-αxСТV- αUV,
dV/dt=yСТ(δxСТ -β)+V(δxСТ-β)- δyСТU- δUV,
или
,
.
Учитывая (1) и пренебрегая членами второго порядка малости и , получим систему уравнений:
(6)
которую легко свести к дифференциальным уравнениям второго порядка относительно переменных U и V:
,
.
Это характерные уравнения для описания гармонических колебательных процессов. Решения уравнений:
, (7)
, (8)
Отношение амплитуд отклонений: .
В результате численности особей при малых отклонениях от стационарных значений равны:
,
.
Таким образом, численности популяций х и y испытывают гармонические колебания относительно стационарных значений с одинаковой частотой , но смещение по фазе на . Периодичность изменения численности хищников и жертв наблюдалась и на опыте. На рис.2.4. приведены опытные данные по количеству числа добытых шкурок зайцев и рысей в Канаде с 1845 по 1935 годы.
Видно, что в реальном случае зависимости более сложные, чем это следует из модели. Необходимо подчеркнуть, что синусоидальное решение возможно лишь при малых отклонениях U и V относительно стационарных значений. При больших отклонениях закон не будет гармоническим (рис.2.4). Тем не менее, данная модель вполне адекватна действительности: колебания численностей хищников и жертв происходят с одинаковой частотой, наблюдается смещение колебаний по фазе.
Рис.2.4. Динамика популяции зайцев и рысей.
Зависимость y от x можно представить и виде фазового портрета. Для периодических зависимостей портрет имеет вид эллипса (рис.2.5), цент которого соответствует стационарным значениям.
Рис. 2.5. Фазовый портрет системы при малых отклонениях численности хищников и жертв от стационарных значений
Допустим, произошло отклонение численности зайцев от ста-ционарного значения (1→2). Если число зайцев возросло, то число рысей также увеличивается, но количество зайцев при этом постепенно начнет уменьшаться (точка 3). Это повлечет уменьшение числа рысей (точка 4), а "следовательно увеличение числа зайцев (точка 1).
Модель «хищник-жертва» используется в настоящее время в медицине. Так при моделировании онкологических заболеваний опухолевые клетки рассматриваются как жертвы, а лимфоциты, которые могут их подавлять, как хищники. В этом случае моделирование позволяет получить новые знания о процессах межклеточного взаимодействия при этих патологиях, находить пути оптимальной стратегии лечения, создавать новые средства борьбы с ними.