2.2. Операции над тензорами второго ранга

1. Над тензорами определены линейные алгебраические операции. С помощью разложения по базису эти операции сводятся к аналогичным операциям над матрицами компонент тензоров. В частности имеем .

2. Над тензорами определена также алгебраическая операция умножения. Данная операция ассоциативна, , но некоммутативна, . В смешанном базисе эта операция сводится к умножению матриц компонент тензоров:

.

В произвольном базисе операция сведется к свертке, содержащей фундаментальную матрицу:

.

Операция возведения тензора в натуральную степень определяется как -кратное умножение данного тензора самого на себя:

. (2.2.1)

Формально

. (2.2.2)

Для невырожденного тензора (2.1.10) определена любая его целая степень, поскольку в дополнение к имеем

. (2.2.3)

3. Запишем в компонентах результат действия тензора T как линейного оператора на вектор x:

. (2.2.4)

Формально можно умножить тензор T на вектор x слева:

. (2.2.5)

Видно, что результаты получатся разные, , поскольку .

4. Каждому тензору T ставится в соответствие транспонированный тензор :

x (2.2.6)

или эквивалентно

x, y. (2.2.7)

Компоненты транспонированного и исходного тензоров в произвольном базисе можно связать, применяя к левой части (2.2.6) результат (2.2.4), а к правой его части — (2.2.5)

,

используя линейную независимость базисных векторов

,

и затем учитывая произвольность x_i, в результате чего имеем

, (2.2.8)

то есть транспонированный тензор можно получить перестановкой индексов в матрице его компонент. Используя (2.2.8) и производя замену немых индексов i j, j i в разложении транспонированного тензора получим

, (2.2.9)

что транспонированный тензор можно получить и перестановкой векторов в базисных диадах в разложении исходного тензора.

Если тензор представлен матрицей смешанных компонент , то можно вывести:

и (2.2.10)

(предлагается сделать читателю). Отсюда следует еще и то, что матрицы компонент и разложения тензора в базисах и отличаются друг от друга лишь транспозицией.

Рекомендуется также доказать равенства

, (2.2.11)

(AB)^T = B^TA^T ,  (2.2.12)

(2.2.13)

(n — натуральное, а для невырожденного тензора — целое, число).

5. Тензор T называется симметричным (знак “+”) и антисимметричным (знак “”), если

T = T^T. (2.2.14)

В компонентах условия (2.2.14) принимают вид

. (2.2.15)

Простейший пример симметричного тензора — диадное произведение двух одинаковых векторов: (aa)^T= aa согласно (2.2.9). Симметричный и антисимметричный тензоры можно определить эквивалентно с помощью

xTy =  yTx (2.2.16)

или

Tx =  xT (2.2.17)

(x,y произвольны), что рекомендуется доказать самостоятельно.

Для симметричного (верхний знак) или антисимметричного (нижний знак) тензоров имеют место равенства

следующие из (2.2.13) и (2.2.14).

6. Симметричная часть тензора T определяется как

(2.2.18)

(операция симметрирования), антисимметричная — как

(2.2.19)

(операция альтернирования). Из (2.2.18)-(2.2.19) следует

. (2.2.20)

Операции симметрирования и альтернирования тензора T можно осуществить двояко. Из (2.2.18)-(2.2.19) с использованием (2.2.8)

, , (2.2.21)

а с использованием (2.2.9) соответственно

(2.2.22)

В (2.2.21) и (2.2.22) операции симметрирования и альтернирования индексов или диад обозначены соответственно фигурными и квадратными скобками.

7. Операцию скалярного умножения векторов можно также использовать для записи билинейной формы, соответствующей тензору T,

.

Билинейная форма T, в которой оба аргумента совпадают

,

называется квадратичной формой. Можно показать, что транспонированному тензору T^T соответствует та же самая квадратичная форма

.

Представляя тензор суммой симметричной и кососимметричной его частей, пользуясь (2.2.19) и последним выводом, можно убедиться, что квадратичная форма полностью определяется симметричной частью тензора

8. Операция след определяется для диады следующим образом:

. (2.2.23)

Поскольку эта операция очевидно является линейной, для тензора второго ранга

. (2.2.24)

След тензора — скаляр. Он равен сумме диагональных компонент любой из двух матриц смешанных компонент тензора, . Заметим, что матрицы смешанных компонент тензора и , конечно, не равны; то, что след одинаковым образом определяется через любую из них, есть инвариантное свойство этой функции и будет рассмотрено подробно позже. Используя другие компонентные представления тензора, получим

. (2.2.25)

9. Операция двойного скалярного умножения двух тензоров определяется так:

(2.2.26)

Мнемоническое правило для этой операции таково: сначала скалярно умножаются ближние друг к другу базисные векторы, затем — дальние (или свертываются сначала ближние смешанные компоненты тензоров, затем — дальние).

Операция полного скалярного умножения двух тензоров определяется следующим образом:

. (2.2.27)

В ортонормированном базисе , и из покомпонентного способа умножения видно, что полное скалярное умножение является скалярным умножением в пространстве тензоров второго ранга, Двойное скалярное произведение является таковым только в пространстве симметричных тензоров, где .

Поскольку полное и двойное скалярное умножения связаны

,

чаще пользуются какой-либо одной операцией (обычно “:”).

С помощью операций двойного скалярного или полного произведения можно записать билинейную форму (2.1.11):

.

Действительно,

,

,

.

10. Рассмотрим симметричный тензор, образованный с помощью фундаментальной матрицы основного базиса в качестве матрицы ковариантных компонент

. (2.2.28)

Легко показать, что . Тогда для произвольного вектора x имеет место

,

,

то есть тензор действует как тождественный оператор. Если воспринимать как билинейную форму, то из двух последних строчек и коммутативности скалярного умножения следует

для любых векторов x и y. Далее,

,

(2.2.29)

для любого тензора второго ранга T. Следовательно, тензор играет роль единицы относительно алгебраической операции умножения во множестве тензоров второго ранга. Все эти установленные в пп.2.1.3-4 факты здесь были просто доказаны в компонентной форме.

11. Для символьного (бескомпонентного) преобразования выражений, содержащих тензоры второго ранга нужно располагать равенствами:

(2.2.30)

(следует из (2.2.26) и (2.2.29)),

, (2.2.31)

(доказывается в компонентах),

,

(следует из (2.2.26) и (2.2.30)), т.е. под знаком следа тензорные сомножители можно вращать по или против часовой стрелки. Если же тензорные сомножители под знаком следа симметричны, то их можно переставлять как угодно, что можно показать, дополнительно используя (2.2.14) и (2.2.31).

12. Полное произведение произвольных симметричного и антисимметричного тензоров равно нулю

(следует из (2.2.14), (2.2.27) и (2.2.31)), т.е. любые симметричный и антисимметричный тензоры ортогональны. Принимая во внимание (2.2.20), т.е. что любой тензор представим суммой симметричного и антисимметричного тензоров, получаем, что пространство тензоров второго ранга разлагается на прямую сумму ортогональных подпространств симметричных и антисимметричных тензоров.

Покажите самостоятельно бескомпонентным способом, что тензор

— симметричен,

— симметричен/антисимметричен,

— антисимметричен/симметричен

( — симметричные, а — антисимметричный тензоры),

,

.

13. Каждому тензору можно сопоставить его шаровую

(2.2.32)

и девиаторную

(2.2.33)

части, причем последняя однозначно характеризуется уравнением

(2.2.34)

(получите из (2.2.33) с использованием линейности следа).

Легко показать, что произвольный тензор единственным образом представляется суммой его девиаторной и шаровой частей

. (2.2.35)

Поскольку, кроме того, , пространство тензоров второго ранга представляется прямой суммой ортогональных подпространств девиаторов и шаровых тензоров. Легко увидеть, что подпространство шаровых тензоров одномерно, поскольку (2.2.32) означает представимость любого шарового тензора в однопараметрическом виде , поэтому подпространство девиаторов восьмимерно.

Поскольку шаровой тензор симметричен, а симметричный тензор шестимерен, девиаторная часть симметричного тензора пятимерна.

14. Вернемся к вопросу об ортогональных подпространствах (п.1.3.11). С помощью ортобазиса пространства можно построить линейные операторы, отображающие все пространство на подпространства, натянутые на подмножества базисных векторов . Принцип построения таких линейных операторов понятен из примеров: диада отображает на одномерное подпространство, содержащее вектор , а диадик отображает на двумерное подпространство, натянутое на векторы и , и т.д. Эти линейные операторы называются ортогональными проекторами. Единичный тензор пространства представляется как

. (2.2.36)

Группируя в (2.2.36) произвольным образом слагаемые

, (2.2.37)

получаем ортогональные разложения единицы по системам взаимно ортогональных проекторов , .