- •Содержание
- •5. Логистика запасов (Управление запасами) 74
- •Учебное пособие
- •1. Понятие логистики и концепция логистики
- •Определение
- •1.2. Функциональные области логистики
- •1.3. Задачи и функции логистики
- •1.4. Факторы развития логистики
- •1.5. Уровни развития логистики
- •1.6. Периоды развития концепции логистики
- •1.7. Логистика как фактор повышения конкурентоспособности фирм
- •1.8. Основные требования логистики
- •2. Математическое моделирование в логистике
- •3. Производственная логистика (пл)
- •3.1. Предмет и задачи производственной логистики. Внутрипроизводственные логистические системы
- •3.2. Стандартная задача о назначениях
- •Венгерский алгоритм
- •Оптимальное исследование рынка
- •Оптимальное использование торговых агентов
- •3.3. Другие модели производственной логистики
- •3.4. Решение зmп с помощью ms Excel
- •4. Транспортная логистика (тл)
- •4.1. Предмет и задачи транспортной логистики
- •4.2. Стандартная тз и ее модификации
- •4.2.1.Постановка транспортной задачи
- •4.2.2. Методы составления первоначального опорного плана
- •4.2.3. Метод потенциалов
- •4.3. Многопродуктовая тз с независимыми и взаимозаменяемыми поставками
- •4.4. Определение рациональных маршрутов и транзитная перевозка продукции
- •4.5. Задача коммивояжера
- •Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера
- •Ветвление
- •Построение редуцированных матриц и и вычисление оценок снизу
- •Формирование списка кандидатов на ветвление
- •5. Логистика запасов (Управление запасами)
- •5.1 Концепция логистического подхода к управлению запасами
- •5.2. Виды запасов
- •5.3. Системы управления запасами и условия их применимости
- •Концепция логистического подхода к управлению запасами.
- •5.4. Модели управления запасами (муз)
- •5.4.1 Однопродуктовая статическая модель
- •И фиксированном уровне заказа *.
- •5.4.2. Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен
- •5.4.3. Многопродуктовая статическая модель управления запасами с ограничениями на емкость склада
- •5.4.4. Однопродуктовая динамическая модель управления запасами
- •Литература
Построение редуцированных матриц и и вычисление оценок снизу
Положим:
Искомая редуцированная матрица получается из с помощью описанной выше процедуры редуцирования. Сумма констант редуцирования равна при этом , а величина
= d(Х1) +
является оценкой снизу для целевой функции F(x) на множестве .
Рассмотрим теперь множество . Все маршруты из этого множества содержат дугу (r,s). Найдем максимальный связанный путь, который принадлежит всем маршрутам множества Х1 и содержит дугу (r,s). Пусть этот путь начинается в городе m и заканчивается в городе t (может быть, m = r или t = s, или то и другое одновременно). Чтобы запретить подцикл, начинающийся и заканчивающийся в m, положим (t,m) = +∞. Остальные элементы матрицы полагаем равными соответствующим элементам матрицы , при этом строку, соответствующую городу r и столбец, соответствующий городу s, в матрицу не включаем, поскольку все маршруты из содержат дуги (r,s).
Редуцированная матрица расстояний для вершины получается из матрицы с помощью операции редуцирования. При этом оценка снизу для функции F(x) на множестве вычисляется по формуле
= d(Х1) + ,
где – сумма констант редуцирования.
Формирование списка кандидатов на ветвление
После вычисления каждой из оценок (i = 1,2) следует проверить, не состоит ли множество из единственного маршрута. Если в каждой строке и в каждом столбце матрицы оказалось лишь по одному элементу, отличному от + , то множество содержит единственный маршрут, длина которого равна . В этом случае верхняя граница (наименьшее из уже вычисленных значений F(x) полагается равной минимуму из предыдущего значения Z0 и , т.е.
Z0 = min {Z0, }.
Если содержит более одного маршрута и меньше текущего значения Z0, то множество включается в число кандидатов на ветвление. Остановка производится, если наименьшая из оценок снизу кандидатов на ветвление не меньше текущего значения Z0.
Пример 4.4.1. Решить методом ветвей и границ задачу коммивояжера с матрицей
Возьмем в качестве произвольного допустимого маршрута:
x0 = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,1)}.
Тогда F(x0) = 10 + 10 + 20 + 15 + 10 = 65 – текущее значение Z0 – (верхняя граница длин всех маршрутов).
Получим редуцированную матрицу .
0 0 9 12 0
Нижняя граница d(x) = 10 + 1 + 8 + 10 + 8 + 9 + 12 = 58. Данное значение является нижней границей длин всех маршрутов. Заметим, что в идеальном случае поиск решения заключался бы в выборе ровно одного нулевого элемента в каждой строке и каждом столбце. Другими словами, если бы такой маршрут нулевой длины бы быть найден, то длина оптимального маршрута равнялась бы 58. Исходя из верхней и нижней границ, можно заключить, что 58 ≤ F(x*) ≤ 65.
Выберем дугу (r,s) с помощью вычисления значений функции (,).
(1,2) = 0, (2,1) = 0, (3,1) = 0, (4,2) = 4, (1,5) = 1, (2,3) = 5, (3,4) = 2, (5,2) = 2.
Следовательно, (r,s) = (2,3). Осуществим разбиение (ветвление). Правое подмножество X2 будет содержать все маршруты, которые исключают дугу (2,3). Поэтому C2 (2,3) = +∞.
=
Оценка снизу для правого подмножества X2 определяется следующим образом:
d(X2) = d(X) + Θ(2,3) = 58 + 5 = 63 < Z0.
Левое подмножество X1 будет содержать маршруты, которые всегда включают дугу (2,3), и поэтому вторая строка и третий столбец в матрицу C1 не включаются. В результате будем иметь матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить C1 (3,2) = +∞, чтобы запретить подцикл {(2,3),(3,2)}. В результате получим матрицу
C1 = = .
Оценка снизу для левого подмножества:
d(X1) = d(X) + = 58 + 0 = 58 < Z0,
где – константа приведения матрицы С1
В списке кандидатов на ветвление множества X1 и X2. Так как d(X1) < d(X2), будем производить ветвление множества X1. Выберем дугу (r,s) с помощью значений функции (,) для матрицы.
(1,2) = 0, (1,5) = 2, (3,1) = 2, (3,4) = 3, (4,2) = 4, (5,2) = 2.
Следовательно, (r,s) = 4, (r,s) = (4,2).
Правая подматрица:
C4 = = .
Оценка снизу для правого подмножества:
d(X4) = d(X1) + Θ(4,2) = 58 + 4 = 62 < Z0.
Левая подматрица. Левое подмножество X3 будет содержать маршруты, которые всегда включают дугу (4,2), и поэтому четвертая строка и второй столбец в матрицу C3 не включаются. В результате будем иметь матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить C3 (3,4) = +∞, чтобы запретить подцикл {(4,2),(2,3),(3,4)}. В результате получим матрицу
C3 = = .
d(X3) = d(X1) + = 58 + 5 = 63 < Z0.
В списке кандидатов на ветвление множества X3, X4, X2.
Минимальная нижняя оценка оказалась у множества X4, следовательно, для дальнейшего разбиения выбираем множество X4.
Определим дугу (r,s) с помощью значений функции (,) для матрицы .
(1,2) = 0, (1,5) = 1, (3,1) = 0, (3,4) = 3, (4,1) = 1, (5,2) = 2.
Следовательно, (r,s) = 3, (r,s) = (3,4).
Правая подматрица.
C6 = = .
Оценка снизу для правого подмножества:
d(X6) = d(X4) + Θ(3,4) = 62 + 3 = 65 = Z0.
Следовательно, множество X6 исключаем из списка.
Левая подматрица. Левое подмножество X5 будет содержать маршруты, которые всегда включают дугу (3,4), и поэтому третья строка и четвертый столбец в матрицу C5 не включаются. В результате будем иметь матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить C5 (4,2) = +∞, чтобы запретить подцикл {(2,3), (3,4), (4,2)}, однако это условие оказалось уже выполненным. В результате получим матрицу:
C5 = = .
Оценка снизу для левого подмножества:
d(X5) = d(X4) + = 62 + 0 = 62 < Z0.
В списке кандидатов на ветвление множества X3, X5, X2.
Минимальная нижняя оценка оказалась у множества X5, следовательно, для дальнейшего разбиения выбираем множество X5. Определим дугу (r,s) с помощью значений функции (,) для матрицы .
(1,2) = 0, (1,5) = 1, (4,1) = 3, (5,2) = 2.
Следовательно, (r,s) = 3, (r,s) = (4,1).
Правая подматрица:
C8 = = .
Оценка снизу для правого подмножества:
d(X8) = d(X5) + Θ(4,1) = 62 + 3 = 65 = Z0.
Следовательно, множество X8 исключаем из списка.
Левая подматрица. Левое подмножество X7 будет содержать маршруты, которые всегда включают дугу (4,1), и поэтому четвертая строка и первый столбец в матрицу C7 не включаются. В результате будем иметь матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить C7 (1,2) = +∞, чтобы запретить подцикл {(2,3), (3,4), (4,1), (1,2)}.
C7 = = .
Оценка снизу для левого подмножества:
d(X7) = d(X5) + = 62 + 0 = 62 < Z0.
В списке кандидатов на ветвление множества X3, X7, X2. Множество X7 содержит единственный маршрут с минимальной нижней оценкой, поэтому задача решена. X1 = = X*;
Z0= F(x*) = 10 + 8 + 10 + 20 + 14 = 62.
Представим процесс решения в виде дерева (см. рис. 4.4.).
Рис. 4.4. Дерево решений
Домашнее задание №9
Решите методом ветвей и границ следующую задачу коммивояжера:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.