![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •3. Интерполялия, экстрополяция, аппроксимация, сглаживание 5
- •3. Интерполялия, экстрополяция, аппроксимация, сглаживание
- •3.1. Введение
- •3.2. Интерполяция
- •3.2.1. Полиномиальная интерполяция
- •Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
- •3.2.2. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера
- •3.2.3. Линейная интерполяция
- •3.2.4. Квадратичная интерполяция
- •3.2.5. Построение других базисных функций
- •3.2.6. Многочлены Тейлора
- •3.2.7. Лагранжева интерполяция
- •I, j, n : Integer;
- •3.2.8. Ошибки полиномиальной интерполяции
- •3.2.9. Кусочно-линейная интерполяция
- •Var X,y : Array[0..N] of Real;
- •I,j : Integer;
- •Var f:Real;
- •3.2.10. Кусочно-кубическая интерполяция
- •3.2.11. Эрмитов кубический интерполянт
- •3.2.12. Кубические сплайны
- •Var r, s, l : Vect;
- •Var l, I, j : Integer;
- •1 : Begin
- •0 : Begin
- •Var XX:RealType;
- •3.2.13. Кривые Безье. Сплайны
- •3.2.14. Итерационный способ вычисления интерполяционного полинома (способ Эйткена)
- •3.2.15. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •3.2.16. Интерполяционный многочлен Гаусса
- •3.2.17. Интерполяционный многочлен Стирлинга
- •3.2.18. Интерполяционный многочлен Эверетта
- •3.3. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов
- •3.3.1. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов
- •3.3.2. Аппроксимация данных с другими нормами
- •3.3.3. Аппроксимация данных многочленом заданной степени
- •Var X,y:array[1..Nmax] of real;
- •I,n:integer;
- •Литература
- •Простейшие способы интерполяции
- •Интерполяционные полиномы
- •Сплайн-интерполяция
- •Тригонометрическая интерполяция
- •Неклассические методы интерполяции
- •Реконструкция функций
- •Всюду гладкая интерполяция
Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
Любую непрерывную функцию
можно приблизить на замкнутом интервале
некоторым полиномом
.
Если
- произвольная непрерывная на конечном
замкнутом интервале
функция, то для любого
найдётся такой полином
степени
,
что
.
Если выбрать в качестве базисных функций
неотрицательные целые степени переменной
,
то модель примет вид
с матрицей
Определить матрицы
можно вычислить по формуле
,
который не равен нулю, если все
различны.
3.2.2. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера
Полиномы столь распространены в математике, что часто приходится сталкиваться с проблемой быстрого их вычисления по заданным коэффициентам. Полином
можно вычислить по схеме Горнера:
.
3.2.3. Линейная интерполяция
Единственный линейный интерполянт для
точек
и
задаётся формулой
,
где
и
удовлетворяют уравнениям
и
,
т. е.
.
Если
,
то матрица
невырожденная и можно найти
и
,
решая систему в матричном виде
или
развернутом
.
Тогда получим
.
3.2.4. Квадратичная интерполяция
Найдём квадратический интерполянт по
точкам
.
Таким интерполянтом является
.
Все
находятся из условия, что полином
должен проходить через три указанные
точки; это приводит к системе уравнений
Подставив в матричное уравнение значения, получим
.
Решение этой системы даст интерполянт
.
Вывод: для заданных на плоскости
точек с различными абсциссами существует
единственный полином степени не выше
,
который проходит через все эти точки.
3.2.5. Построение других базисных функций
Если в линейном интерполянте в качестве базисных функций выбрать
Тогда получится матрица
,
т. е. единичная матрица
и
где
Решением системы уравнений
будут
и
.
Поскольку существует только один
многочлен первой степени, проходящий
через две различные точки, а это значит,
что можно записать
;
одно выражение есть просто алгебраическое преобразование другого.
Другие изменения, которые мы можем
сделать, это переставить
и
так, что
,
или заменить
и
на сумму и разность:
и
.
Любая замена функций
на другой набор независимых функций,
которые являются линейными комбинациями
исходных, не влияет на получающийся
интерполянт и называется заменой
представления или заменой базиса.
Замена базиса может быть полезной, если она приводит к более простому выражению или даёт дополнительное представление о задаче.
3.2.6. Многочлены Тейлора
Многочленом Тейлора
степени
функции
в точке
называется многочлен
.
Многочлен Тейлора обладает тем свойством,
что в точке
все его производные порядка
включительно совпадают с соответствующими
производными функции
,
т. е.
.
Погрешность, возникающая при замене функции её многочленом Тейлора, выражается остаточным членом формулы Тейлора:
,
где
,
- некоторая точка, лежащая строго между
и
при
.
3.2.7. Лагранжева интерполяция
Определим ниже базис Лагранжа (Жозеф
Луи Лагранж (1736-1813), уроженец Турина)
получается заменой базиса, которая
приводит к точно такому же интерполянту,
однако для нового базиса матрица
будет единичной.
Предположим, что у нас есть набор функций
,
каждая из которых является полиномом
степени
,
а также удовлетворяет условию
Иными словами,
принимает значение 1 в точке
и равна нулю во всех других точках
.
(Отметим,
и
,
указанные в начале этого раздела,
обладают таким свойством.) Любая линейная
комбинация функций
снова является полиномом степени
.
Рассмотрим в частности,
.
Из свойств следует, что
.
Поэтому
является интерполяционным полиномом,
а поскольку такой полином единственный,
это эквивалентно решению линейной
системы. При этом
.
Лагранжева интерполяция по трём заданным точкам
.
В виду сложности вычисления коэффициентов
их можно вычислять раздельно для
полиномов с
при
ординатах.
При нормировке
,
где
разность
абсцисс соседних узлов,
.
Вычисление коэффициентов полинома
Лагранжа при трёх ординатах
:
.
Вычисление коэффициентов полинома
Лагранжа при четырёх ординатах
и
:
.
Вычисление коэффициентов полинома
Лагранжа при пяти ординатах
и
:
.
Вычисление коэффициентов полинома
Лагранжа при шести ординатах
и
:
.
Пример.
program PLagrang;
{вычисление полинома Лагранжа в n+1 узле интерполяции}
Uses Crt;
Const
M=15;
Type
RealType = Real;
Vec=Array[0..M] of RealType;
Var