3.4. Електромагнітна теорія світла. Світлова хвиля

Електромагнітна теорія світла випливає з теорії електромагнетизму. Cистему рівнянь теорії електромагнетизму створив Максвелл. Знамениті рівняння Максвелла в часткових похідних мають такий вигляд:

(4.1)

(4.2)

(3.3)

(4.4)

які доповнюються алгебраїчними (матеріальними) співвідношеннями:

(4.5)

(4.6)

, (4.7)

які встановлюють зв’язок індукцій і густини струму провідності з напруженостями поля та . Таким чином, тут і – напруженості магнітного і електричного полів; і – електрична і магнітна індукція; і – густина заряду і струму; – провідність речовини; – діелектрична проникність; – магнітна проникність. У межах лінійної оптики і не залежать від напруженості полів.

Електромагнітна теорія світла є одним із наслідків знаменитих рівнянь Максвелла. Для того, щоб зрозуміти зміст електромагнітної природи світла, треба розглянути насамперед середовище, в якому відсутні струми провідності і нескомпенсовані заряди. При цьому і .

Використовуючи рівняння (3.4.1–3.4.7) виведемо диференційне рівняння електричної хвилі.

Для спрощення записів розглянемо плоске електромагнітне поле, в якому електричне поле направлено паралельно осі і залежить тільки від однієї координати . Схема приведена на рис.3.4.1

Рис.3.4.1. Орієнтація електромагнітної хвилі в лабораторній системі координат

Тоді із рівнянь Максвелла слідує, що магнітне поле ( ) має бути направлено паралельно осі ( ) і залежати тільки від ( ).

З рівняння (3.4.6) випливає, що

(4.8)

Рівняння (3.4.8) підставимо в (3.4.3) і отримаємо:

(4.9)

Так само, використавши формулу (3.4.5) і умову із рівняння (3.4.1) отримаємо:

(4.10)

Використавши умову плоскої хвилі та рис.3.4.1 замість векторних рівнянь (4.9) і (4.10) запишемо два скалярні рівняння:

(4.11)

(4.12)

Із рівнянь (3.4.11) та (3.4.12) можна виключити або і отримати диференціальне рівняння для кожної з цих величин окремо.

Наприклад, диференціюючи рівняння (4.11) по ( ), а рівняння (4.12) по ( ), отримаємо:

(4.13)

(4.14)

Підставимо (4.14) в праву частину (4.13) і отримаємо хвильове рівняння:

(4.15)

Таке точно рівняння можна отримати і для .

Рівняння (3.4.15) є диференціальне рівняння електричної хвилі, яка розповсюджується по напрямку осі ( ) з швидкістю, яка визначається співвідношенням:

(4.16)

де ; – швидкість електромагнітної хвилі у вакуумі.

Використовуючи рівняння (4.16) і (4.5) запишемо:

(4.17)

В загальному випадку, коли хвильове рівняння набуває наступного вигляду:

(4.18)

де , або . Розв’язком рівняння (4.18) є рівняння хвилі:

(4.19)

Максвелл допустив, що світло представляє собою одну із різновидностей електромагнітних хвиль і перевірив свою гіпотезу, порівнявши швидкість світла, яка була визначена Фізо з константою , що входить в рівняння (4.15), яка була вирахувана з чисто електромагнітних вимірювань. Обидві цифри співпали. Це послужило аргументом на користь електромагнітної теорії світла і нові виміри підтвердили це співпадання з великою точністю.

При розповсюдженні світла в середовищі швидкість змінюється згідно рівняння (4.16). З цього рівняння слідує, що:

(4.20)

де – це показник заломлення світла середовищем і він є зв’язаний з електричним ( ) і магнітним ( ) параметрами середовища формулою Максвелла (3.4.20).

Співвідношення (4.20) добре узгоджується з експериментальними даними для низки газів (азот, водень, вуглекислота) і рідин типу бензолу і толуолу. Але для багатьох інших рідин і твердих тіл спостерігається розходження, які розглядаються в оптиці слабопровідних і провідних середовищ.

Поперечність світлових коливань пояснюється тим, що електричні ( ) і магнітні ( ) поля, хвилі направлені перпендикулярно до напрямку розповсюдження хвилі.

Геометричне місце точок з однаковою фазою світлових коливань називається хвильовою поверхнею.

Густина потоку енергії (або інтенсивність випромінювання) електромагнітних хвиль, тобто кількість енергії, яка переноситься за одиницю часу через одиницю площі, яка перпендикулярна напрямку розповсюдження хвилі визначається вектором Умова-Пойтінга:

(4.21)

Світлові промені співпадають з напрямком цього вектора. В ізотропному середовищі світлові промені нормальні до хвильових поверхонь.

Якщо в (4.21) замінити через то отримаємо, що потік енергії світлової хвилі пропорційний . Таким чином, енергія світлових хвиль, так як і хвиль пружних (або іншої природи) є пропорційна квадрату амплітуди.