Реализм

1. НОМИНАЛИЗМ

Причиной, по которой мы не уделим много внимания номинализму как философии математики, является то, что его современные сторонники1 признают, что отрицание абстрактных сущностей, собственно и определяющее это направление, базируется лишь на философской интуиции, которая не может быть обоснована с помощью обращения к какому-либо более фундаментальному аргументу или доводу и, тем более, следовательно, с помощью анализа математики. Выбор номинализма не имеет ничего общего с реальностью математики, но имеет глубокие последствия для нее или имел бы, если бы математики им руководствовались. Однако этого не происходит (по крайней мере явно и последовательно).

Так как математические рассуждения изобилуют абстрактными понятиями, то у номиналиста есть выбор либо объявить эти рассуждения пустой, бессодержательной фантазией, иллюзией типа астрологии, либо взять на себя непростую обязанность показать, что за обманчивой наружностью таятся значимые высказывания, приемлемые с точки зрения номиналиста. Предприятие нелегкое как в принципиальном плане (представьте, если захотелось бы сделать нечто похожее для астрологии), так и с точки зрения технических трудностей. Нельзя ограничиваться арифметикой, нужно обязательно взяться и за наиболее абстрактные и продвинутые разделы математики и переписать их, спасая то, что возможно спасти, сохраняя при этом номиналистическую точку зрения. Номиналисту необходимо провести больше математической работы по сравнению с его коллегами. Только конструктивистам, пожалуй, нужно проделать, как увидим, не меньший объем работы, но они

1 N. Goodman, W.V. Quine, Steps towards a constructive nominalism, Journal of Symbolic Logic, 12, 1947, pp. 105–122; итал. перевод Verso un nominalismo costruttivo, in La filosofia della matematica, под ред. C. Cellucci, Bari, Laterza, 1967, pp. 269–298. Первый автор – Nelson Goodman, а не уже цит. Nicholas D. Goodman.

99

Философия математики: наследие двадцатого столетия

являются математиками, а не философами. В целом труд номиналиста обратно пропорционален вниманию, которое он получает.

Во всяком случае, не могут считаться номиналистическими подходы, которые рассматривают математику такой, какая она есть. Если они так поступают, то должны сказать, что математические подходы не истинны, что не представляют собой рассуждения, имеющие объективное основание, как то подсказывает их грамматическая структура, или же, что их смысл отличен от кажущегося. Они должны, следовательно, поработать более в языковом направлении, чем в онтологическом. Некоторые номиналисты считают, что абстрактная математика должна быть переделана и заменена там, где это возможно, другой версией математики, другие же довольствуются новой интерпретацией традиционной математики2.

Чтобы понять трудность задачи, нужно учитывать, что номиналист отрицает не только существование абстрактных сущностей, которые населяют математику, но также отрицает их наличие в других контекстах. Не ясно, к примеру, и не все согласны, должен ли номиналист отбрасывать существование буквы «а» и признавать только существование различных сочетаний точек чернил или чего-то другого, имеющих такое сходство, которое позволяет нам называть их все «а». Должен ли он допускать только token3, а не type4, в современной терминологии.

В то же самое время, номиналист не может замыкаться только на индивиды или конкретные предметы. В этом случае он неизбежно сталкивается с определенными трудностями, если хочет быть последовательным в своих рассуждениях. Допуская в качестве истинного положение, что если говорится о чем-то, то принимается, что это что-то существует (факт не настолько очевидный, он означает, что все термины языка проявляют существование че- го-либо), номиналист тоже должен взять на себя некоторые обяза-

2Среди первых H.H. Fields, Science without Numbers, Oxford, Blackwell, 1980, среди вторых C. Chihara, Constructibility and Mathematical Existence, Oxford, Oxford Univ. Press, 1990.

3Многозначное слово. Основные значения – знак, символ, обозначение, метка и др. (англ. – прим. переводчика).

4Тип, представитель, класс, род и др. (англ. – прим. переводчика).

100

НоминализмРеализм

тельства в онтологическом плане. Иначе его предприятие будет безнадежным и обреченным на немоту, на чистую видимость (и даже без сопровождения каким-либо обычным нарицательным существительным). Например, номиналист допускает конгломераты, собранные из элементов различных частей, вероятно, допускает также конечные множества. Многие не имеют возражений по поводу геометрических объектов, точек и областей физического пространства. Почти все, говоря о математике, должны принимать, по крайней мере, типы (types), которые представляют собой символы5, но, с другой стороны, можно было бы утверждать, что символ есть единичная абстрактная сущность.

Некоторые номиналисты по природе своей – минималисты и ограничиваются утверждением того, что уместно и полезно в целях ясности проводить тщательное различие между конкретным и абстрактным, детально анализировать появление и значение последнего и, возможно, его устранимость.

В более простых терминах по отношению к математике можно сказать, что номиналист отбрасывает бесконечность, но, нужно уточнить, – бесконечность как объект анализа и действий с нею, поскольку, к примеру, области пространства не могут считаться конечнымиконгломератами. Гильбертначалсвоюзнаменитуюработу о бесконечности (1925) с утверждения, что актуальная бесконечность неприсутствуетникоимобразомвприродеили, лучше, ниводномиз наших исследований природы. Гильберт признавал концепцию символа, используя некую кантианскую интуицию, сведенную к комбинаторным соображениям, и больше того, на этой основе затем разрабатывал свою оригинальную идею по спасению бесконечности, чтобы не отказываться от «рая Кантора»6. Формалисты, в целом, придерживаются номиналистической направленности за исключением абстрактного понятия символа и, возможно, других, связанных с этим, понятий синтаксического типа.

5Исключение, которое увидим в разделе об эмпиристах, составляет Филипп Дэвис (Philip J. Davis).

6Имеется в виду знаменитая фраза Гильберта: «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал Кантор», говорящая о теории (бесконечных) множеств Кантора (прим. научного редактора).

101

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Формализм представляет собой один из возможных способов занять позицию номинализма без затрагивания математики. Среди наших современников логик А. Робинсон ясно выявил принципиальную позицию по поводу бесконечности и уловку формализма7:

Моя позиция касательно оснований математики основана на следующих двух постулатах, или принципах: бесконечные совокупности не существуют ни в каком смысле этого слова… высказывания, которые претендуют на это, лишены смысла.

Второй принцип рассмотрим далее, в разделе, посвященном формализму.

Обычно номинализм не поднимает непосредственно вопросы реконструкции или реинтерпретации чистой математики, а обращается скорее к таким математизированным наукам, как физика, или к прикладным математическим методам. При таком подходе его работа облегчена, некоторые безнадежные разделы математики (не прикладной) можно исключить из рассмотрения. В целом номиналист полагает, что классическая математика, анализ, базирующийся на действительных числах, не является существенным для физики, а только полезным, удобным и подходящим инструментом, и что другие версии могли бы выполнять аналогичную вспомогательную функцию. В литературеимеются некоторые заметные работы вэтом направлении, мнения по поводу которых расходятся8. Нет согласия в оценках с прикладной точки зрения, как нет его и по поводу номиналистической приемлемости результата (которому всегда бывает немного тесно врамках исходныхчистоонтологическихпредположений).

С математической точки зрения, в номиналистической переработке часто играют важную роль конструктивистские методы, к примеру, для замены утверждений о существовании их алгоритмическими версиями. Континуум действительных чисел в любом

7A. Robinson, Formalism 64, in Logic, Methodology and Philosophy of Science (Proc. Intern. Congress, Jerusalem 1964), Amsterdam, North Holland, 1965, pp. 228–246.

8H.H. Fields, Science without Numbers, уже цит., переработал ньютоновскую механику, используя понятие пространственной области. По поводу дискуссии смотри S. Shapiro, Talking about Mathematics, уже цит. Смотри также J.P. Burgess, G. Rosen, A Subject with No Object, уже цит.

102

НоминРеализм

случае заменяется каким-либо конструктивистским аналогом. Среди математиков поклонники номинализма встречаются, прежде всего, среди формалистов, а также среди конструктивистов. В общем, они имеют чисто математическую или эстетическую мотивацию, а вот философы, напротив, обращаются, прежде всего, к исследованию того, насколько их математика пригодна с точки зрения научных приложений. Влияние номинализма встречается также и в других философских течениях, таких, как эмпиризм.

Определенная, отнюдь не хирургическая, реализация замыслов номиналистов осуществилась бы, если бы в их распоряжении имелась некоторая теория, касающаяся оснований математики, приемлемая для них и подходящая для всей математики. С этим контекстом согласуется попытка разработать теорию множеств без классов, осуществленная со слабым успехом Расселом и, позднее, Куайном9. Труд Рассела был основательно разобран Гёделем10 с общих позиций конструктивизма. Работа представляет собой жемчужину философского анализа, который раскрывает все тонкости и трудности подобного элиминативизма и является прекрасным примером того, как следует развивать философию математики.

Задача номиналистов в отношении переписывания или новой интерпретации абстрактной математики предполагает наличие в ней разделов, которые можно сохранить, и разделов, которые стоит попытаться сохранить. Мотивы, задачи, фундаментальные постановки и часть математики кажутся, следовательно, здравыми и корректными. Необходимо тогда выяснить, что нас сбивает с дороги и в каком месте (но без порождения тотальных непоправимых катастроф), а также причины этой вековой коллективной иллюзии.

9W.O. Quine, Set Theory and its Logic, Cambridge, Mass., The Belknap Press, 1963.

10K. Gödel, Russell’s Mathematical Logic, in The Philosophy of Bertrand Russell, под ред. P.A. Schilpp, Evanston, Ill., The Library of Living Philosophers (New York, The Tudor Publishing Company), 1944, pp. 125–163, перепечатано в Philosophy of Mathematics, под ред. P. Benacerraf, H. Putnam, Oxford, Blackwell, 1964, pp. 211–232, сейчас включена в K. Gödel, Collected Works, vol. II, под ред. S. Feferman et al., Oxford, Oxford Univ. Press, 1990, pp. 119–141; итал.

перевод La logica matematica di Russell, in C. Cellucci, La filosofia della matematica, уже цит., pp. 81–112.

103

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Нужно объяснить, одним словом, каким образом люди доходят до признания существования чисел (или до привычки рассуждать об этом). Номиналисты замечают, что, с одной стороны, разговоры взрослых о числах представляются детям не как игра слов; они видят их в связи с реальностью. С другой стороны, у детей легко получается принимать абстрактную природу чисел, поскольку «никто не собирается натыкаться на числа или открывать их в лаборатории, как нейтрино»11. Речь идет, однако, о немного большем, чем простая констатация: «имеется естественная тенденция к замене рассуждений о методах и о текстах на дискуссию о подходящих абстракциях, которые рассматриваются как объекты»12.

Эта операция называется также конкретизацией или гипостазированием. Пока затруднительно вскрыть ее механизм на уровне психологии, проще проследить ее историческую эволюцию. Э. Джусти13, кпримеру, указалнекоторыечастовстречающиесяфазы:

Новые теории, новые важные открытия создают новые математические объекты. Они проступают, поначалу, не материализовавшись, в виде методов доказательств, инструментов исследования. Иногда, в более глубоком прошлом, как операционные процедуры. Их важность побуждает изучать их самих по себе, независимо от контекста, в котором они были предложены, учитывая также применение в тех же самых или в других обстоятельствах. Доказательные процедуры становятся объектом изучения… В некоторых случаях (немногочисленных, ведь математика, по сути, вращается вокруг немногих объектов) присутствует феномен объективации процедур… Индикатором подобной кристаллизации выступает третья фаза, часто одновременная и переплетенная со второй, в которой они выступают как решения проблем. Когда налицо все эти три фазы, тогда говорят, чтооткрытновыйматематическийобъект.

Вот таким образом и удается отдать должное этому способу изъясняться без обращения в онтологическую веру, открывая, наоборот, интересные перспективы анализа в историческом и логическом плане.

11J.P. Burgess, G. Rosen, A Subject with No Object, уже цит.

12P.J. Cohen, Comments on the Foundations of Set Theory, in Axiomatic Set Theory, под ред. D. Scott, vol. I, Providence, R.I., AMS, 1971, pp. 9–15.

13E. Giusti, Ipotesi sulla natura degli enti matematici, Torino, Bollati Boringhieri, 1999, p. 75.

104