Задание 4
-
а) Доказать, что
б) Доказать, что множество конечно тогда и только тогда, когда оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между полуокружностью без крайних точек и прямой
б) Доказать, что всякое подмножество счётного множества является не более чем счётным множеством.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между полупрямой и прямой
б) Доказать, что каждое бесконечное счётное множество можно представить как объединение двух непересекающихся бесконечных (тоже счётных) множеств.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между интервалом и прямой
б) Показать, что, если и - счётные множества, то и - также счётное множество.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между натуральными и рациональными числами.
б) Доказать, что множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между отрезками и
б) Доказать, что множество чисел интервала несчётно.
-
а) Доказать, что множество всех точек на расширенной комплексной плоскости эквивалентно множеству всех точек на сфере некоторого радиуса
б) Определить мощность множества всех иррациональных чисел.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между множествами рациональных и целых чисел.
б) Доказать, что мощность множества всех счётных последовательностей равна
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между интервалом и действительной прямой
б) Доказать, что множество всех непересекающихся трапеций на плоскости не более чем счётно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между действительной прямой и множеством .
б) Доказать, что декартово произведение двух счётных множеств счётно.
-
а) Установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек некоторого квадрата на плоскости и некоторого интервала на действительной прямой.
б) Показать, что мощность любого непустого множества меньше мощности множества всех его подмножеств.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между точками комплексной плоскости и точками этой же плоскости с положительными координатами.
б) Доказать, что мощность множества всех точек квадрата равна
-
а) Установить взаимно однозначное соответствие между точками окружности и расширенной действительной прямой
б) Найти мощность всех конечных последовательностей действительной прямой.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и точками круга единичного радиуса с центром в начале координат.
б) Найти мощность множества точек трёхмерного пространства, координаты которых рациональны.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между множеством точек квадрата и множеством точек вписанного в него круга.
б) Найти мощность всех интервалов на числовой прямой, один конец которых рационален.
-
а) Доказать, что
б) Доказать, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторому своему собственному подмножеству.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между отрезками и .
б) Доказать, что объединение трех счётных множеств есть множество счётное.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между полупрямой и интервалом .
б) Доказать, что каждое бесконечное счётное множество содержит собственное счётное подмножество.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между интервалами , и ,
б) Показать, что, если , и - счётные множества, то и - также счётное множество.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между натуральными и рациональными положительными числами.
б) Доказать, что множество всех подмножеств мощности счётного множества счётно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между отрезками и
б) Доказать, что множество чисел интервала несчётно.
-
а) Доказать, что множество всех точек квадрата эквивалентно множеству всех точек квадрата .
б) Определить мощность множества всех комплексных чисел.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между множествами натуральных и целых чисел.
б) Доказать, что мощность множества всех конечных последовательностей счетно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между интервалом и действительной прямой
б) Доказать, что множество всех непересекающихся квадратов на плоскости не более чем счётно.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между действительной прямой и интервалом .
б) Доказать, что декартово произведение конечного числа счётных множеств счётно.
-
а) Установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек квадрата на плоскости и интервала на действительной прямой.
б) Показать, что мощность любого непустого множества меньше мощности множества всех его двуэлементных подмножеств.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между точками комплексной плоскости и точками этой же плоскости с отрицательными координатами.
б) Доказать, что мощность множества всех точек круга равна
-
а) Установить взаимно однозначное соответствие между точками дуги окружности и некоторого отрезка действительной прямой
б) Найти мощность всех конечных последовательностей точек интервала действительной прямой.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и точками квадрата с центром в начале координат.
б) Найти мощность множества точек двумерного пространства, координаты которых натуральные числа.
-
а) Установить взаимнооднозначное соответствие между множеством точек треугольника и множеством точек вписанного в него круга.
б) Найти мощность всех интервалов на числовой прямой.