- •1) Комплексные числа и операции над ними
- •2) Извлечение квадратного корня из комплексного числа
- •3) Тригонометрическая форма комплексного числа, формула Муавра
- •4) Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •5) Перестановки и их кол-во, лемма о транспозициях
- •6) Определители n-го порядка, св-ва говорящие о равенстве определителя нулю
- •9) Теорема о миноре
- •10) Разложение определителя по строке или столбцу
- •14) Определитель произведения матриц
- •Свойства определителей
- •17) Многочлены от одного неизвестного и операции над ними
- •7) И 8) Св-ва, говорящие о равенстве двух определителей n-го порядка
1) Комплексные числа и операции над ними
Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. Мнимые числа[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица.
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии,квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена .
Стандартная модель
Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:
Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.
Действия над комплексными числами
-Сравнение
означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
-Сложение
-Вычитание
-Умножение
-Деление
2) Извлечение квадратного корня из комплексного числа
Формула квадратных корней из комплексного числа.
В дальнейшем нам понадобится одна числовая функция:
обозначим .
Эту функцию называют знаком числа х и читается она так: "сигнум икс".
Теорема. Пусть . Тогда
(7) , где квадратныекорни в скобках являются арифметическими квадратными корнями из положительных чисел.
Доказательство. Как мы уже выяснили существует ровно дваквадратных корня из комплексного числа, причем они являются противоположными числами. Пусть , где . Тогда или . Возведем в квадрат левую часть этого равенства и воспользуемся условиями равенства двух комплексных чисел. Получаем:
(8) .
Возведем в квадрат каждое уравнение этой системы: . Прибавим второе уравнение к первому:
.
Здесь – обычный арифметический квадратный корень из положительного действительного числа. Далее, если полученная системаимеет решение, то по обратной теореме Виета и являются корнями квадратного уравнения . Находим дискриминант . Отсюда . Оба корня квадратного уравнения оказываются положительными, т.к., очевидно, . При выборе корней учитываем равенства (8), а именно . Отсюда следует, что и
. Осталось правильно выбрать знаки перед знаками радикалов. Из равенств (8) следует, что . Положим , тогда , откуда и следует доказываемая формула. Теорема доказана.