9 Вопрос

Частной производной функции z f x y = ( , ) по переменной x , в точке M x y ( , ) называется предел (если таковой существует) отношения частного приращения Δxz к приращению аргумента Δx при стремлении последнего к нулю:

Аналогично определяется частная производная

10 Вопрос

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точкиx₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную(постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция   имеет конечную производную в точке   то в окрестности   её можно приблизить линейной функцией

Функция   называется касательной к   в точке   Число  является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть   — закон прямолинейного движения. Тогда   выражает мгновенную скорость движения в момент времени   Вторая производная   выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная функции   в точке   выражает скорость изменения функции в точке  , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 

11 Вопрос

необходимое условие дифференцируемости. Если функция  дифференцируема в точке  , то она имеет в точке   частные производные по каждой переменной   и  .При этом  , , где    и   – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде

,

а полный дифференциал функции – в виде

.

         Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

достаточное условие дифференцируемости. Если функция   имеет непрерывные частные производные   и   в точке  , то она дифференцируема в точке   (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой  ).

         Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность частных производных является только достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости функции.

12 Вопрос

Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции

,

где dx_i    x_i (i=1, ..., m), если x₁, ..., x_m - независимые переменные.

Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х₁, ..., х_m являются функциями некоторых переменных t₁, ..., t_k. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы

Например, для дифференциала произведения рассуждаем следующим образом. Рассмотрим функцию   = u ^. v двух переменных u, v. Дифференциал этой функции равен

но   следовательно,

d  = v ^.du + u ^. dv.