![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •28,Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
- •29.Степенной ряд и его область сходимости.
- •Если ряд сходится в некоторой точке , то он сходится, и притом абсолютно, в любой точке такой, что .
- •30.Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •31.Разложение в ряды Маклорена основных элементарных функций
- •32.Тригонометрическая система функций.
- •33.Тригонометрические ряды Фурье.
- •34.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •35.Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке [-l;l].
- •36. ИнтегралФурье.
- •37. Косинус- и синус-преобразование Фурье.
- •38.Дифференциальные уравнения. Основные определения
- •39.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •40.Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.
- •41.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •42,Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •43.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
- •44,Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
- •46.Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
- •47.Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
- •49.Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная формула Коши.
- •50.Функциональные ряды в комплексной области
- •51.Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
- •52.Нули аналитических функций и их классификация
- •55. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах.
- •56. Приложения вычетов к вычислению определённых интегралов.
44,Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Называется уравнение вида:
(1)
Где а1, а2, …, аn постоянные действительные числа.
Решение этого уравнения можно записать в виде:
Y=
,
А частное решение можно найти с помощью метода вариаций.
Если правая часть имеет специальный вид, то частное решение можно найти методом “подбора”. Общий вид правой части уравнения (1) при котором можно применять метод подбора следующий:
F(x)=
,
Где Pn и Qm многочлены.
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1)F(x)=Pn(x),
=0
если число
совпадает с корнями характеристического
ур-ния и S-
число совпадений, то говорят что есть
резонанс в степени S.
Если нет резонанса, то частное решение ищем в виде:
,
где
-
многочлен n-ой
степени с неопределёнными коэффициентами.
представляя данное
решение в исходное уравнение.
,
то частное решение ищем в виде :
f(x)=Pn(x)
,
если нет резонанса:
если есть резонанс:
f(x)
=
Pn(x)cos
+Qn(x)sin
,
Если нет резонанса,
то:
cos
+
,
k=max[n,m];
(
cos
+
;
Если правая часть представляет собой сумму выражений специального вида, то находим несколько частных решений и их складываем.
45.Системы дифференциальных уравнений.
Системы
дифференциальных уравнений
Система такого вида называется нормальной
системой дифференциальных уравнений
(СНДУ). Теорема.
Если функции
определены и непрерывны на открытом
множестве
,
а соответствующие частные производные
тоже непрерывны на
,
то тогда у системы
будет существовать решение
Системы
линейных дифференциальных уравнений
Определение.
Система Дифференциальных Уравнений
называется линейной,
если она линейна относительно всех
неизвестных функций и их производных.
Теорема 1. Если
определитель Вронского для линейной
однородной системы с непрерывными на
отрезке
коэффициентами
,
равен нулю хотя бы в одной точке
,
то решение
линейно
зависимы на этом отрезке и, следовательно,
определитель Вронского равен нулю на
всем отрезке.Решение системы
Дифференциальных Уравнений вида
может быть представлено в виде
,
каждое из
которых удовлетворяет
уравнению
,тогда
.
46.Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
Если каждой точке z = х + iy некоторого множества Е поставленно в соответствие одно или несколько комплексных чисел w = и + iv, то говорят, что на множестве Е определена функция (однозначная или многозначная) комплексного переменного w = f(z).
Функцию f(z) можно рассматривать как пару функций и{х,у) и v{x,y).
и{х,у) = Re/O + iу), v(x,y) = Imf(z + iy).
Предел и непрерывность функции комплексной переменной:
Число А называется
(
Функция f(z)
называется неприрывной в точке z0
, если предел f(z) z стремится к z0 =f(z0)
.
47.Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Опр.
Пусть в области D
компл. переменной z
задана
функция f(z). Если для точки z0ÎОD,
при DDz®®0
предел разностного отношения
,то этот
предел называется производной
функции f(z) по комплексной переменной
z в точке z0.
Теор. (Условие Коши-Римана)Если функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) диф-ма в точке z0 = x0 + i y0, то в точке (x0,y0) $$ частные производные функций u(x,y) и v(x,y) по переменным x, y. Причем
,
Пусть f(z)
аналитическая в точке z0
и f
‘(z0)
неравно нулю. Тогда
коэффициенту
дифформации в точке z0
при
отображении функции f(z)
в плоскости z
на плоскости w
При
При
Аргумент производной f ‘(z0) равен углу на который нужно повернуть касательную в т. z0 к любой гладкой прямой плоскости z проходящею через т. z0.
Что бы получить
направление касательной
к
образу этой кривой по пл.
при отображении
.
48.Понятие аналитической функции, условия Коши-Римана. Связь аналитических и гармонических функций. Конформные преобразования.Опр. Если функция f(z) диф-ма во всех точках некоторой области J, а ее производная непрерывна в этой области, то функция f(z) называется аналитической в области J.
аналитичности функции f(z) = u(x,y) + i v(x,y) в области J необходимо и достаточно сущ-е непрер. частных производных функций u(x,y), v(x,y), связанных условиями Коши-Римана.
Теор. (Условие Коши-Римана)Если функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) диф-ма в точке z0 = x0 + i y0, то в точке (x0,y0) $$ частные производные функций u(x,y) и v(x,y) по переменным x, y. Причем
,
Пусть
функция w
= f
(z)
= u
+ iv
регулярна в области D.
Тогда она удовлетворяет условиям
Даламбера –Эйлера :
Дифференцируя
первое из этих тождеств по х,
а второе по y
и складывая, получим:
Дифференцируя
же первое из этих тождеств по y,
а второе по х
и вычитая, будем иметь:
Равенства
и
говорят о том, что функции u
(x,y)
и v
(x,y),
являюшиеся соответственно действительной
и мнимой частями функции w
= f
(z),
регулярной в некоторой области D,
в той же области являются решениями
дифференциального уравнения в частных
производных:
Дифференциальное
уравнение
называется уравнением
Лапласа.
Функция, являющаяся решением уравнения
Лапласа, называется гармонической.
Следовательно, действительная и мнимая
части регулярной функции являются
гармоническими функциями. Отображение,
обладающее свойством постоянства
коэффициента растяжения и консерватизма
углов, называется Конформные
преобразования., преобразования
осуществляемое регулярной функцией,
является конформным во всех точках, в
которых производная этой функции отлична
от нуля.