- •28. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
- •29. Степенной ряд и его область сходимости.
- •30. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •31. Разложение в ряды Маклорена основных элементарных функций.
- •32.Тригонометрическая система функций.
- •33.Тригонометрические ряды Фурье.
- •34.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •35.Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке [-l;l].
- •36. Интеграл Фурье.
- •37. Косинус- и синус-преобразование Фурье.
- •38.Дифференциальные уравнения. Основные определения
- •39.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •40.Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.
- •41.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •42.Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •43) Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
- •51) Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
- •54.Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.
- •55. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах.
- •56. Приложения вычетов к вычислению определённых интегралов.
43) Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
(1)
где коэффициенты – некоторые действительные числа. Для нахождения частных решении уравнения (1) составляют характеристическое уравнение
(2)
которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется единицей. Уравнение (2) является уравнением n степени и имеет n корней.
Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (2):
1.каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида ;
2.каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида ;
3.каждой паре комплексных сопряженных простых корней и в общем решении соответствует слагаемое вида
4.каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида
51) Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
Ряд Тейлора
Основные разложения в ряд Тейлора
53) Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида
Этот ряд понимается как сумма двух рядов:
— положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и
— отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).
При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Область сходимости ряда по положительным степеням разложения функции в ряд есть сфера радиуса сходимости
. В области этой сферы лежит и область сходимости ряда по изолированному направлению делителей нуля. Если R=0, то ряд сходится только в точке a, если , то ряд сходится во всем пространстве Y.
Ряд по отрицательным степеням разложения функции сходится в сфере сходимости >r. Если r<R, то ряд сходится в области заключенной между двумя концентрическими сферами . На эту область накладывается область сходимости рядов по изолированному направлению. Сферы в пространстве это прежде всего поверхности , , натянутые без точек самопересечения на пространственные кривые , , эквивалентные кривым типа . В области G, заключенной между двумя этими сферами, необходимо рассматривать область сходимости ряда по изолированному направлению, для точек .
54.Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.
Точка z=a , в которой функция f(z) не является аналитической, а в ее проколотой окрестности аналитическая, называется изолированной особой точкой функции f(z). Такая точка называется устранимой, если существует ; полюсом, если существует ; и существенно особой, если не существует. Характер изолированной особой точки z=a функйии f(z) может быть установлен по виду Лорана этой функции для кольца следующим образом. Изолированная особая точка является: 1) устранимой, если главная часть разложения отсутствует; 2) полюсом, если главная часть разложения содержит конечное число членов. При этом, если главная часть ряда Лорана имеет вид ( ), число m называют порядком полюса z=a (если m=1, полюс называется простым). В этом случае функция f(z) может быть представлена в виде f(z)= , где – функция, аналитическая в точке z=a и ; 3) существенно особой, если главная часть разложения содержит бесконечно число членов, не равных нулю. Точка z=a называется нулем или корнем кратности m (или порядка m) функции (аналитической в точке a), если , но . Если для аналитической функции число z=a есть ноль порядка m, то для функции f(z)= это число является полюсом порядка m. Отметим, что если f(z)= , где P(z) и Q(z) – многочлены, не имеющие общих нулей, то нули многочлена Q(z), и только они, являются полюсами функции f(z), причем порядок этих полюсов совпадают с кратностью соответствующих нулей многочлена Q(z). Если f(z) – однозначная аналитическая функция в области , понятие особой точки можно распространить и на бесконечно удаленную точку z= . Ее тип определяется так же, как для точки z=a : она является устранимой, если существует ; полюсом, если существует ; и существенно особой, если не существует. Рядом Лорана для функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки называется ряд
f(z)= (R ).
Главной частью этого ряда называется часть, состоящая из членов с положительными степенями z, а правильной – часть, содержащая нулевую и отрицательные степени z.