Пример 13

За какой срок первоначальный капитал в 50 000 000 руб. увели­чится до 200 000 000 руб., если:

98

а) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 28% годовых;

б) проценты будут начисляться ежеквартально?

Решение

По формулам (3.14) и (3.15) имеем:

а) n = 1n(200 000 000/50 000 000)/ln(l + 0,28) = 5,6 года;

б) n = ln(200 000 000/50 000 000)/4 ln(l + 0,07) = 5,1 года.

Пример 14

Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за пять лет? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.

Решение

По формулам (3.12) и (3.13) вычисляем:

2.4. Сложные учетные ставки

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления слож­ных процентов. Пусть dc (%) — сложная годовая учетная ставка;

d_c(%) — относительная величина сложной учетной ставки;

k_н.у — коэффициент наращения для случая учетной ставки;

f — номинальная годовая учетная ставка.

Тогда по прошествии первого года наращенная сумма S^ в со­ответствии с формулой (2.5) составит

Еще через год эта формула будет применяться уже к сумме S,:

и т. д., аналогично случаю сложных ставок ссудных процентов. По прошествии п лет наращенная сумма составит

(4.1)

Отсюда для множителя наращения имеем

99

СТРАТЕГИЧЕСКИЙ И ОПЕРАТИВНО-ТАКТИЧЕСКИЙ ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ

Стратегия финансового менеджмента Тактика финансового менеджмента Сочетание стратегии и тактики финансового менеджмента Риск-менеджмент Практикум

(4.2)

Сравнивая формулы (3.1) и (4.1), легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначаль­ной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет бы­стрее.

Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, чтс декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный — для кредитора. Это можно считать справедли вым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно (рис. 2). Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной (при этом она сама растет с ростом п), и сравнение двух методом с точки зрения выгодности утрачивает смысл. Представить себе эту разницу можно с помощью графика на рис. 3.

Рис. 2. Декурсивный (нижняя кривая) и антисипативный (верхняя кривая) способы начисления сложных процентов при i_с (%) = d_c (%) = 10%

Из формулы (4.1) также явствует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значе­ния только строго меньшие (т. е. не достигающие) 100%. Иначе величины Р или S не будут иметь смысла, становясь бесконечны­ми или даже отрицательными. Наращенная сумма Сочень быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, когда d (%) приближается к 100%.

В следующем разделе рассмотрим, какие учетные ставки дают результаты, одинаковые с наиболее распространенными в насто­ящее время ставками ссудных процентов.

100

Рис. 3. Декурсивный (нижняя кривая) и антисинативный (верхняя кривая) методы начисления сложных процентов при iс (%) = dc (%) - 30%

Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий — меньше года — интервал, начисление т раз в году и т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогич­ным образом.

Так, для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем

(4.3)

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, на­ращенная сумма превращается в

(4.4)

Здесь n1,n2,...,nN— продолжительность интервалов начисле­ния в годах, d1, d2, ..., dN— учетные ставки, соответствующие данным интервалам.

Для начисления процентов т раз в году формула имеет такой вип-

(4.5)

или

(4.6)

При этом тп — целое число интервалов начисления за весь период начисления, l — часть интервала начисления.

101

При непрерывном начислении процентов S расчитывается по формуле:

(4.7)

Из полученных формул путем преобразований получаем фор­мулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В заключение составим таблицу, дающую возможность наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления п.

Таблица 1. Величина наращенной суммы в зависимости от вида процентной ставки

Р = 10 000 ам. долл., величина процентной ставки — 10%

Величина нара­щенной суммы	n= 1	n=3	n=6
S=P(1 + in)	11 000	13000	16000
S= P(l + i)n	11 000	13310	17716
S=Рein	11 052	13499	18222
S =P/(1 – dn)	11 111	14286	25000
S= P/(1- d)n	11 111	13717	18816

Результаты вычислений, вероятно, будут неожиданными для большинства читателей — наибольший рост капитала мы имели бы в случае начисления процентов по простои учетной ставке. (Следует заметить, что на практике она не применяется на дли­тельных, больше года, периодах начисления.)

102

Однако, для того, чтобы выбрать в каждом конкретном случае наиболее выгодную процентную ставку, не обязательно считать получаемые суммы. Можно воспользоваться эквивалентными про­центным» ставками, о которых пойдет речь в следующем разделе.

Пример 15

Первоначальная сумма долга равняется 25 000 000 руб. Опреде­лить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процен­тов. Годовая ставка — 25%.

Решение

По формулам (3.1) н (4.1) получаем:

S1 = 25 000 000 (1 + 0,25)³ = 48 828 125 (руб.);

S2 = 25 000 000/(1 - 0.25)³ = 59 255 747 (руб.).

Данный пример наглядно демонстрирует ощутимость различия в результатах при разных способах начисления процентов. Разни­ца составляет больше 10 млн. руб.

Пример 16

Определить современное значение суммы в 120000000 руб., которая будет выплачена через два года, при использовании слож­ной учетной ставки 20% годовых.

Решение

Производим расчет по формуле (4.8):

Р = 120 000 000 (1 - 0,2)² = 76 800 000 (руб.).