7) § 11. Действия над векторами, заданными своими координатами
Если векторы заданы своими координатами в базисе e1, e2 , e3, то действия над ними выполняются по следующим правилам:
1. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:
(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
В самом деле, для двух векторов (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) имеем
(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) =
= (x1e1 + y1e2 + z1e3) + (x2e1 + y2e2 + z2e3) =
= (x1 + x2) e1 + ( y1 + y2) e2 + (z1 + z2) e3 =
= (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
Для суммы трех или большего числа векторов доказательство проводится аналогично.
2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:
(x1; y1; z1) — (x2; y2; z2) = (x1 — x2; y1 — y2; z1 — z2)
Доказательство проведите самостоятельно.
3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
В самом деле, для вектора (x1; y1; z1) и числа λ, имеем
λ (x1; y1; z1) = λ (x1e1 + y1e2 + z1e3) =
= (λ x1)e1+ (λ y1)e2 + (λ z1)e3 = (λx1; λy1; λz1)
3адача. По координатам векторов а = (—4; 6; 0), b = (1; —1; 7) найти координаты векторов а + b; а — b; 5а; 3b — a/2.
Используя правила 1—3, получаем:
а + b = (—3;5;7); а — b = (—5; 7; — 7);
5а = (—20; 30; 0); 3b — a/2 = (5; — 6; 21).
8) Условия коллинеарности векторов
Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.
Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.
Для
коллинеарности двух ненулевых
векторов 
и 
в
пространстве необходимо и достаточно,
чтобы 
или 
При
каком значении параметра p векторы 
и 
коллинеарны?
Решение.
Так
как 
,
то для коллинеарности векторов 
и 
должно
быть справедливо равенство 
,
откуда получаем 
.