1. Ряд (2) имеет тот же радиус сходимости r, что и ряд (1).

2. На всем интервале (-r,r) функция f(X) имеет производную f,(X), которая разлагается в степенной ряд (2)

ряд для cosx получается почленным дифференцированием ряда Sinx=x-(x³/3!)+(x⁵/5!)-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)+…

(Sinx)’=x’-(x³/3!)’+(x⁵/5!)’-…+((-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!))’+…

Cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ/(2n!)

11. Найти значение а, при котором функция является решением дифференциального уравнения

13. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка Проверьте выполнение условий этой теоремы для задачи ,

Если в некоторой окрестности точки (х₀;у₀) функция f(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’_y, то существует такая окрестность точки (х₀;у₀), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x₀)=y₀имеет решение, притом единственное.

Подставим в исходное:

Запишем общее решение:

Подставим значения условий для задачи Коши

Ответ: с=3 и у= -3х.

14. Какое решение дифференциального уравнения называется особым? Найдите особое решение уравнения .

Особое решение дифференциального уравнения – это некоторая интегральная прямая уравнения, состоящая из особых точек.

Практика:

Решение уравнения, но есть особые решения при y(x)=0.

15. Дайте определение и приведите пример дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Приведите уравнение к виду уравнения с разделенными переменными. Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.

Проверим на однородность функцию:

=> однородны.

Уравнение с разделяющимися переменными.

16. Дайте определение и приведите пример автономного дифференциального уравнения. Сформулируйте свойство решений автономного уравнения.

Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида :y’=g(y).

Замечание: Если у*- корень уравнения g(y)=0, то у=у* (у-const) является решением уравнения y’=g(y). Такое решение называется стационарным.

Теорема: Если у=фи(х) – решение автономного дифференциального уравнения, то у=фи(х+С) также является решением этого уравнения.

Пример: y’=cos(2y+2x+6). Делая замену z=2y+2x+6, находим z’=2y’+2. Следовательно, z’=2cosz+2, или z’=4cos²z/2.

17. Дайте определение уравнения Бернулли. Приведите пример.

Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yⁿ (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли. Пример: y’-y=e^6x/y². Решение: n=-2. Выполним замену z=y³, получим z’=3y²y’. Далее решаем полученное уравнение: z’-3z=3e^6x

18. Дайте определение и приведите пример линейного дифференциального уравнения второго порядка. Докажите, что если и – решения линейного неоднородного уравнения, то разность является решением соответствующего линейного однородного уравнения

Линейным уравнением второго порядка называется уравнение y”+p(x)y’+q(x)y=b(x). Пример y”+5y’+6y=4sin(x).

Т.к. Y1(X) и Y2(X) явл решением, то: Y’+p(X)Y=G(X) - верное по усл

Y1’(X)+P(X)Y1(X)=G(X)-верное по усл

Y2’+P(X)Y2(X)=G(x)- верное по усл

Y1’(X)-Y2’(X)+P(X)(Y1(X)-Y2(X)))=0 –это и есть решение.