31. Приложения деревьев.Дерево Хаффмана. (оставь здесь 10 шрифт!!!)
Приложения(широкое применение):1)Трансляторы таблиц решений;2)Создание и ведение таблиц символов;3)Экономическое кодирование сообщений;4)Решение арифметических выражений. Пусть требуется закодировать длинное сообщение в виде строки битов: А В А С С D А кодом, минимизирующим длину закодированного сообщения. 1) назначим коды:
Символ Код
A 010
B 100
C 000
D 111
Каждый символ тремя битами, получим строку: 010 100 010 000 000 111 010; А В А С С D А; 7*3=21 всего 21 бит - неэффективно
2) Сделаем иначе: предположим, что каждому символу назначен 2-битовый код
Символ Код
A 00
B 01
C 10
D 11
00 01 00 10 10 11 00
А В А С С D А Тогда кодировка требует лишь 14 бит.
3) Выберем коды, которые минимизируют длину сообщения по частоте вхождений символа в строку: много вхождений - код короткий, мало вхождений - код длинный.
А -3 раза, С -2 раза, В -1 раз, D -1 раз то-есть можно:1) использовать коды переменной длины;2)код одного символа не должен совпадать с кодом другого (раскодирование идет слева направо). Если А имеет код 0 т.к часто встречается, то В, С, D - начинаются с 1, если дальше 0,то это С, следующий может быть 0 или 1: 1 - D , 0 - В; то-есть В и D различаются по последнему биту, А -по первому, С - по второму, B и D - по третьему.
Символ Код
A 0
B 10
C 110
D 111
Таким образом, если известны частоты появления символов в сообщении, то метод реализует оптимальную схему кодирования. Частота появления группы символов равна сумме частот появления каждого символа. Сообщение АВАССDА кодируется как 0 | 10| 0| 110| 110| 111| 0 и требует лишь 13 бит. ABACCDA; В очень длинных сообщениях, которые содержат символы, встречающиеся очень редко - экономия существенна.Пример:
Рис. Дерево Хаффмена
32. Бинарная куча. Проверка основного свойства кучи.
Бинарной (двоичной) кучей (binary heap) называется массив, обладающей определенными свойствами упорядоченности.
для которого выполнены три условия:
Значение в любой вершине не меньше, чем значения её потомков.
Глубина листьев (расстояние до корня) отличается не более чем на 1 слой.
Последний слой заполняется слева направо
Каждая вершина содержит ключ и информацию
Если в куче изменяется один из элементов, то она может перестать удовлетворять свойству упорядоченности. Для восстановления этого свойства служит процедура Heapify. Она восстанавливает свойство кучи в дереве, у которого левое и правое поддеревья удовлетворяют ему. Эта процедура принимает на вход массив элементов A и индекс i. Она восстанавливает свойство упорядоченности во всём поддереве, корнем которого является элемент A[i].
Если i-й элемент больше, чем его сыновья, всё поддерево уже является кучей, и делать ничего не надо. В противном случае меняем местами i-й элемент с наибольшим из его сыновей, после чего выполняем Heapify для этого сына.
Процедура выполняется за время O(log n).
Основные операции с кучами:
Проверка основного свойства кучи Heapify время работы - O(logn)
Построение кучи из произвольного массива BuildHeap - O(n)
Сортировка массива без использования дополнительной памяти SortHeap -O(nlogn)
Извлечение наибольшего (очередь с приоритетами) ExtractMax -O(logn)
Мах - O(1)
Добавление элемента InsertHeap - O(logn)
Основное свойство кучи(HEAPIFY):
для любого i (кроме корня)
A[parent(i)]>=A[i](РОДИТЕЛЬ БОЛЬШЕ СВОИХ ПОТОМКОВ ИНАЧЕ ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ)
Функция:
void Heap::Heapify(int ix){
int l=Left(ix),r=Right(ix),irl=ix;
if(l>0){
if(isGreat(Storage[l],Storage[ix])) irl=l;
if(r>0&&isGreat(Storage[r],Storage[irl])) irl=r;
if(irl!=ix){
Swap(ix,irl);
Heapify(irl);}}}