Суть метода:

Параметры a,b,c… подбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений yk от значений f(xk,a,b,c…), вычисленных по выбранной формуле при соответствующих значениях xk, имела наименьшее значение

Отклонения экспериментальных значений yk от вычисленных по формуле определяются разностью

Реализация :

• Для каждого экспериментального значения xk вычисляют теоретическое значение переменной у по выбранной формуле

• Составляют сумму квадратов отклонений

²

• Находят значения параметров, при которых функция имеет минимум. Для этого, используя необходимые условия экстремума ФНП, составляют и решают систему уравнений

Как правило система имеет единственное решение, которое и дает

искомые значения параметров

Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду)

1. Дайте определение дифференциального уравнения k-го порядка, запишите в общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение k-го порядка. Определите порядок ДУ и запишите его в нормальной форме.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию, и ее производные различных порядков. Порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то уравнение – обыкновенное

- общий вид

y⁽ⁿ⁾ =f(x,y,y',y'',...,y^(n-1)), разрешенное относительно старшей производной называется дифференциальным уравнением в нормальной форме.

2. Что называется решение ДУ? Является ли функция решением ДУ ?

Решением ДУ n-го порядка называется всякая функция y=φ(x), x(a,b), определенная и непрерывная вместе со своими производными до н-го порядка включительно, которая, при ее подстановке в ДУ вместо неизвестной, обращает это уравнение в тождество

Операция отыскания всех решений – интегрирование

График решения ДУ – интегральная кривая

3. Запишите в общей и нормальной форме ДУ первого порядка. Сформулируйте задачу Коши для этого ДУ.

Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего начальным условиям у(х0)=у0, называется задачей Коши

4. Сформулируйте теорему Коши существования и единственности решения задачи Коши ДУ у = f(x,y).

Если в ДУ у = f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная df/dy непрерывны в некоторой области DR², то для любой внутренней точки (х0,у0) области D существует и при том единственное решение у=у(х) этого ДУ, определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0

Геом.смысл – через каждую точку (х0,у0) области D, в которой выполнены условия теоремы, проходит единственная интегральная кривая заданного ДУ

5. Какой геометрический смысл имеют ДУ у = f(x,y) и его решение?

ДУ определяет поле направлений касательных к интегральным кривым, а каждое его решение определяет кривую в этом поле, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направление поля в этой точке

6. Какой механический смысл имеют ДУ и его решения? Что представляет собой график движения, определяемого этим ДУ и траектория движения?

ДУ первого порядка есть ДУ движения точки по прямой, его решение – закон движения этой точки, интегральная кривая – график движения

Траектория движения – отрезок оси Оу, в пределах которого произошли изменения

7. Дайте определение интегральной кривой ДУ.

График решения ДУ – интегральная кривая

8. Дайте определение общего, частного, особого решения ДУ первого порядка. Как найти каждое из этих решений? Какова геометрическая и механическая интерпретация этих решений?

Общим решением ДУ у = f(x,y) в области D называется функция y=φ(x,C), зависящая от произвольной постоянной С, непрерывно дифференцируемая по переменной х и удовлетворяющая условиям:

• y=φ(x,C) является решением ДУ для любого С

• для всякого начального условия у(х0)=у0, (х0,у0) D, существует константа С0 такая, что решение y=φ(x,C0) удовлетворяет этому начальному условию

Общее решение, записанное в неявной форме Ф(х,у,С)=0, называют общим интегралом ДУ

Геометрически общее решение определяет в области D семейство интегральных кривых

Частным решением ДУ у = f(x,y) в области D называется функция y=φ(x,C0), которая получается из общего решения данного ДУ при конкретном значении константы С=С0

Геометрически чр определяет одну кривую семейства интегральных кривых

• в равенстве y=φ(x,C) заменяют х на х0, у на у0

• решают полученное уравнение y0=φ(x0,C) относительно С

• подставляют найденное значение С=С0 в общее решение y=φ(x,C) вместо постоянной С

Решение ДУ, график которого состоит сплошь из особых точек, называют особым решением, соответствующую интегральную кривую – особой кривой данного ДУ. Особое решение не может быть получено из общего решения ДУ ни при каком значении постоянной С

Особые точки – точки, в окрестности которых решение ДУ, удовлетворяющее условию у(х0)=у0 не существует или существует, но не единственно (либо функция либо ее производные имеют разрыв, например)

9. Перечислите известные вам типы ДУ первого порядка и запишите их вид. Укажите методы решения каждого.

Таблица 1

10. Что такое поле направлений, определяемое ДУ у = f(x,y)? Что называется изоклиной? Какую задачу можно решить с помощью изоклин? Запишите уравнение изоклин ДУ .

Изокли́на дифференциального уравнения первого порядка — линия уровня, на всём протяжении которой наклон, определяемый уравнением, сохраняет постоянное значение.

Изоклина дифференциального уравнения  , отвечающая наклону  , определяется уравнением  . Придавая параметру  различные значения, получим сеть изоклин, с помощью которых строятся приближённые линии данного уравнения в виде ломанных с вершинами на изоклинах сети и наклонах звеньев, определяемых параметром. Все точки локальных экстремумов линий данного уравнения лежат на нулевой изоклине. С помощью изоклин определяются и другие геометрические характеристики линий уравнения.

ДУ определяет поле направлений касательных к интегральным кривым, а каждое его решение определяет кривую в этом поле, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направление поля в этой точке

11. Запишите общий вид и нормальную форму записи ДУ второго, третьего порядка. Сформулируйте задачу Коши.

Для двух до второй производной

- общий вид

y⁽ⁿ⁾ =f(x,y,y',y'',...,y^(n-1)), разрешенное относительно старшей производной называется дифференциальным уравнением в нормальной форме.

Задача Коши: найти решение у=у(х) ДУ , удовлетворяющее начальным условиям: у(х0)=у0 и (х0)=

12. Какова геометрическая и механическая интерпретация ДУ у = f(x,y, у) и его решений, задачи Коши?

Мех.интерпритация ДУ – ДУ движения точки по прямой под действием силы, зависящей от времени, положения и скорости точки, а каждое его решение определяет закон такого движения

Геом смыс задачи Коши: у(х0)=у0 – из семейства интегральных кривых уравнения выбирается кривая, проходящая через точку (х0,у0).

(х0)= - из всех интегральных кривых проходящих через эту точку , выбирается та, тангенс угла наклона касательной к которой в этой точке равен

Задача Коши для ДУ 2-го порядка означает отыскание интегральной кривой, проходящей через данную точку под заданным углом наклона

Мех.смысл задачи Коши – из всех движений, определяемых ДУ требуется выбрать то, для которого точка (двигаясь по оси Оу) в заданный момент времени займет заданное положение и будет иметь заданную скорость

13. Дайте определения общего и частного решений ДУ у = f(x,y, у). В чем их отличие?

Общим решением ДУ у = f(x,y, у) в области D называется функция у= φ(x,C1,С2), зависящая от произвольных постоянных С1 и С2, непрерывно дифференцируемая по переменной х и удовлетворяющая условиям :

• у= φ(x,C1,С2) является решением ДУ при любых значениях С1 и С2

• Для любых начальных условий у(х0)=у0 и (х0)= , где (х0,у0, у0) D, существует значение постоянных С1=С1₀ и С2=С2₀ такие, что решение у= φ(x,C10,С20) удовлетворяет этим начальным условиям

Общее решение, записанное в виде Ф(х,у,С1,С2) – общий интеграл ДУ

ЧР ДУ у = f(x,y, у) - функция у= φ(x,C10,С20), полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных

14. Перечислите виды ДУ, допускающих понижение порядка и методы их решения.

Таблица 2

15. Сформулируйте краевую задачу для ДУ 2-го порядка, ее геометрический и физический смысл, алгоритм решения.

16. Дайте определение линейного дифференциального оператора, перечислите его свойства (с доказательством).

17. Запишите общий вид линейного однородного, неоднородного ДУ п-го, второго порядков.

– однородное

–неоднородное

18. Какое уравнение называется характеристическим для линейного ДУ? Как записывается решение однородного ЛДУ в зависимости от корней характеристического уравнения?

Характеристическим уравнением однородного ЛДУ называется алгебраическое уравнение второй степени

Таблица 3

19. Что такое ФСР линейного однородного ДУ 4-го порядка? Сколько решений она содержит?

Фундаментальная система решений однородного линейного ДУ – четырех линейно независимых на интервале (a.b) частных решений этого уравнения

Решения называют линейно независимыми на интервале (a.b), если для любого х, принадлежащего этому интервалу, их отношение не является постоянной величиной

20. Что представляет собой множество решений линейного однородного ДУ? Что это означает?

21. Сформулируйте (*и докажите) теоремы о структуре общего решения линейного однородного и неоднородного ДУ второго порядка

О структуре общего решения :

Общим решением линейного однородного ДУ является функция

, где - какая либо фундаментальная система решений этого ДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные

Общее решение линейного неоднородного ДУ равно сумме общего решения соответствующего однородного ЛДУ и какого либо частного решения заданного неоднородного ЛДУ

22. Как найти частное решение линейного неоднородного ДУ, если его правая часть имеет специальный вид? Дайте ответ на этот вопрос для всех специальных видов правой части.

По виду правой части и корням характеристического уравнения подбирается вид с неопределенными коэффициентами, которые затем подбираются в результате подстановки в заданное исходное уравнение, исходя из условия, что удовлетворяет самому неоднородному ЛДУ

Таблица 4

23. Опишите метод вариации постоянных (Лагранжа) решения линейного неоднородного ДУ.