- •2. Общая задача линейного программирования. Графический метод решения задач лп.
- •4. Основные теоремы симплекс-метода.
- •Теория двойственности
- •11.Проверка оптимальности плана транспортной задачи с помощью потенциалов.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •3 Этап: (Если решение является недопустимым)
- •16. Транспортная задача с дополнительными ограничениями.
- •19. Теория игр. Оптимальность стратегий .
- •22.Критерий оптимальности стратегий
- •23. Игра с седловой точкой.
- •24.Численный метод решения матрич. Игры метод Брауна-Робинсона.
- •25. Целочисленные задачи линейного программирования. Метод Гомори.
- •26. Двойственный симплекс-метод.
- •28. Задача о длиннейшем пути в графе
- •29. Поток на сети. Задача о максимальном потоке в сети. Алгоритм Форда-Фалкерсона.
- •1) Процедура помечивания вершин.
- •2) Процедура изменения потока.
- •31. Метод ветвей и границ
- •Алгоритм метода ветвей и границ
19. Теория игр. Оптимальность стратегий .
Теория игр . Основные результаты теории игр впервые получены в военной области.
Основные работы теории игр - Дж. фон Нейман и Оскар Моргенштерн (теория игр и экономическое поведение)
Рассмотрим игру двух лиц с конечным числом чистых стратегий.
2 игрока поочередно разыгрывают партии: в каждой партии один игрок выбирает ходы из множества
Sm 1, 2…m
S n 1, 2…n
В каждой партии I,j ходов. Выигрыш 1 ого игрока аij , 2ого игрока – аij.
Игра с нулевой суммой
М атрица выигрышей:
А= а11, а12….а1n - для всех комбинаций ходов
а21, а22…..а2n
……………………..
am1, am2….amn
Игроки выбирают ходы с различными вероятностями
Р=(Р1, Р2…Рm) Pi- вероятности выбора ходов 1ого игрока. Стратегии 1ого игрока
Q=(Q1, Q2…Qm) Qi - вероятности выбора ходов 2ого игрока. Стратегии 2ого игрока
Математическое ожидание выигрыша = функция выигрыша –величина
m n
E (P,Q) = aij pi qj
I=1 j=1
Оптимальность стратегии
P*, Q* - оптимальность стратегии
V – цена игры если выполняется неравенство
E( P,Q*)<= V<= E(P*,Q)
V=E(P*,Q*)
P,Q – любые стратегии
Основное неравенство теории игр показывает, что если второй игрок будет применять свою стратегию, то при любых стратегиях первого его выигрыш будет не более, чем цель игры. И наоборот.
Билет 20
Теорема Дж.фон Неймана (Лемма 1)
Основная теорема Неймана: любая матричная игра имеет решение. Для доказательства этой теоремы используют две леммы (вспомогательные теоремы).
Лемма 1: Если к матрице выигрышей прибавить какое-либо число, то оптимальная стратегии не изменятся, а цена игры изменится на это число.
Док-во: Рассмотрим игру «Гамма»
Г: Ег(P,Q*)≤V≤ Ег(P*,Q)
Ег(P,Q)=
A+α;
Ег’(P,Q)= = Ег(P,Q)+α
Билет 21
Теорема Дж.фон Неймана (Лемма 2)
Основная теорема Неймана: любая матричная игра имеет решение. Для доказательства этой теоремы используют две леммы (вспомогательные теоремы).
Лемма 2: матричная игра с положительной матрицей имеет решение.
Рассмотрим матричную игру с матрицей 2*3
А=
Составим исходную и двойственную задачу ЛП по способу Данцига
min f(x̅)=x1+x2 a11x1+a21x2≥1 a12x1+a22x2≥1 a13x1+a23x2≥1 x1≥0 x2≥0 x2≥0 |
max g(y̅)=y1+y2+y3 y1≥0 y2≥0 y3≥0 a11y1+a12y2 +a13y3≤1 a21y1+a22y2 +a23y3≤1
|
Положим, что каждая из этих задач имеет решение, следовательно, они будут иметь и оптимальное решение.
Двойственная задача имеет план y̅(0;0);
Покажем, что исходная задача также имеет план или допустимое решение.
x̅(0;0) не является планом задачи. Будем искать допустимое решение в виде x̅(x1;0)
a11x1≥1; a12x1≥1; a13x1≥1;
x1≥1/ a11; x1≥1/ a12; x1≥1/ a13;
x1≥max(1/ a11; 1/ a12;1/ a13)
x̅(x1;0) – решение задачи.
Исходная и двойственная задача имеют планы, а значит они имеют и оптимальные планы. По 1-ому критерию оптимальности пары двойственных задач, функции цели на оптимальных планах исходной и двойственной задач равны.
f(x̅*)=x1*+ x2*= y1*+ y2*+ y3*=g(y̅*)=μ
Покажем, что из данных планов можно получить стратегии.
P( Q( P, Q – стратегии игроков.
0≤ ≤1; 0≤ ≤1;
+ =1
Аналогично для компонент вектора Q.
Покажем, что эти стратегии являются оптимальными, т.е. для них выполняется основное неравенство теории игр.
a11x1*+a21x2*≥1 *q1/μ
+ a12x1*+a22x2*≥1 *q2/μ
a13x1*+a23x2*≥1 *q3/μ
a11 q1+ a21 q1+ a12 q2+ a22 q2+ a13 q3+ a23 q3=
a11p1*q1+ a21p2*q1+ a12p1*q2+ a22p2*q2+ a13p1*q3+ a23p2*q3 ≥
E(P*,Q) ≥
Аналогично для двойственной задачи:
a11y1*+a12y2 *+a13y3*≤1 * p1/μ
+ a21y1*+a22y2 *+a23y3*≤1 * p2/μ
E(P,Q*) ≤
E(P,Q*) ≤ ≤ E(P*,Q)
E(P*,Q*)=
P*,Q* - оптим.стратегии, V – цена игры, => Теорема доказана