14. Знакочеред ряды признак лейбница.

{O}b₁-b₂+b₃-b₄+…=Σ_n=1 (-1)ⁿ⁺¹b_n (1) где b_n>=0 n т.к это частн случ знакопер ряда, св-ва для знакопер ряда одинак для знакочеред. {O}Признак лейбница Если в ряд (1) {b_n} убывает и lim_n%b_n=0 то ряд (1) сход. {Д} сгрупп ряд (1) так, (b₁-b₂)+(b₃-b₄)+… (2) и так b₁-(b₂-b₃)-(b₄-b₅)+… (3) т.к по усл {b_n} убывает т.е b_n>=b_n+1  b_n-b_n+1>=0 то в скобках (2) и (3) неотриц члены, (2)  S₂<=S₄<=…<=S_2n<=.. (4) (3)  S₁>=S₃>=…>=S_2n+1 (5) из (4) и (5)  {S_2n} возраст и {S_2n+1} убывает расмот рав-во S_2n+1=S_2n+ b_2n+1 (6) т.к b_2n+1>=0  S_2n<=S_2n+1 из (4)  S₂<=S_2n<=S_2n+1  S_2n+1>=S₂ n  {S_2n+1} имеет предел lim_n%S_2n+1=α из (5)  S₁>=S_2n+1>=S_2n т.е S_2n<=S₁ т.е {S_2n} огренич сверху поэтому lim_n%S_2n=β из (6)  lim_n%S_2n+1=lim_n%S_2n+lim_n%b_2n+1=0 α=β т.е lim_n%S_2n+1=lim_n%S_2n=lim_n%S_n=S₁ т.е ряд сход.

15. Функц ряды.

{O}функц ряд- Ряд вида Σ_n=1U_n(x) (1) где U_n(x) ф-ция опред на [a b] Ряд (1) наз сход если lim_n%S_n(х)=S(x) т.е >0 N_(х):n>N_(х)|S_n(х)-S(x)|< x[a b] если >0 N_:n>N_|S_n(х)-S(x)|< x[a b] то ряд (1) сход равномерно на [a b] {O}Признак Вейрштрасса равномер сход ряда Если для ряда (1) сушь такой сход числ ряд Σ_n=1a_n , что для всех n и x[a b] вып условие: |U_n(x)|<=a_n то ряд (1) будет сход абс и равномер на [a b].

16. Форм св-ва равномер сход рядов.

{O}Если ряд Σ_n=1U_n(x) (1) у которого все U_n(x) непрер ф-ции на [a b] сход равн на [a b] то сумма ряда будет непрер ф-цией на [a b] 2) если ряд (1) составленный из непрерывных ф-ций на [a b] сх равном на [a b] то такой ряд можно почленно интегрир т.е из Σ_n=1U_n(x)  Σ_n=1a^bU_n(x)dx=^bS(x)dx x[a b] 3) Если ряд (1) сх на [a b] т.е Σ_n=1U_n(x)=S(x) а ряд Σ_n=1U'_n(x) сх равномерно на [a b] то справндливо равенство Σ_n=1U'_n(x)=S'(x)

17. Степ ряд т Абеля

{O} Σ_n=1с_n(x-x₀) где с_n коэфф ряда, а x₀ заданное число, так заменой z=x-x₀ можно получить более простой ряд Σ_n=0с_nzⁿ то далее ряд Σ_n=0с_nхⁿ (1) {Т}если (1) сходится в точке x₀ то он сх абсолютно и равноменрно во всех точках x так что |x|<=q|x₀| 0<q<1 Если ряд (1) расх в точке x₁ то он расх во всех точках x : |x|>|x₁| {Д} Пусть ряд (1) сх в x₀ тогда по необх признаку сх ряда получ lim_n%с_nх₀ⁿ=0 по Т об огранч сход последоват M>0:n|c_nх₀ⁿ|<=M возмем число x: |x|<=q|x₀| 0<q<1 |c_nх₀ⁿ|<=|c_nqⁿх₀ⁿ|<=Mqⁿ т.к Σ_n=1qⁿ сх как геом прогрес (0<q<1) то по приз срав в ф-ме нерав ряд Σ_n=0с_nхⁿ сх и равномерн x:|x|<=q|x₀| Пусть ряд (1) расх в x₁ докаж что он расх во всех точках x таеих что |x|>|x₁| Пусть ряд сх в x : |x|>|x₁| тогда по первой части теоремы ряд должен сх в x₁ что нарушает усл теоремы  ряд расх в x : |x|>|x₁| расх _{-x1 -x0} сход _{x0 x1} расх Радиус сход R (-R R) интервал сходимости.

18. Интегр и дофф степ рядов.

{св-ва} 1) ряд Σ_n=0с_nxⁿ в интервале сходимости ряда сход к непр ф-ции 2) ряд Σ_n=0с_nxⁿ на любом отрезке внутри интервала сход, можно почленно дифференц Σ_n=0с_nxⁿ=S(x) Σ_n=0с_nxⁿ⁺¹/n+1= ₀^xS(x)dx 3) ряд Σ_n=0с_nxⁿ в интервале сходимости можно почленно дифф

19. Разл ф-ции в степ ряд Ряд тейтора.

Σ_n=0с_nxⁿ=f(x) f(x)=Σ_n=0с_n(x-x₀)ⁿ в нек окрестн точки x₀ f(x)=с₀+с₁(x-x₀)+c₂(x-x₀)²+c₃(x-x₀)³+… при x=x₀ имеем f(x₀)=с₀ f'(x)=с₁+2с₂(x-x₀)+c₂(x-x₀)+3c₃(x-x₀)²+… x=x₀ f'(x₀)=с₁ f''(x₀)=2с₂+3*2c₃(x-x₀)+… x=x₀ f''(x₀)=2с₂ f'''(x₀)=3*2c₃+… x=x₀ f'''(x₀)=3*2c₃ c₀=f(x₀) ; c₁=f'(x₀)/1! ; с₂=f''(x₀)/2! ;…;с_n=fⁿ(x₀)/n!, f(x)=Σ_n=0fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ/n! Если ряд в правой части сх к ф-ции f(x) то ряд наз рядом тейлора в окресности x₀ ф-ла тейлора f(x)=Σ_n=0f^k(x₀)(x-x₀)ⁿ/k!+R_n(x)