- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование тригонометрических уравнений
- •4. Интегрирование иррациональных функций.
- •7.Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры.
- •8. Дифференциальные уравнения. Основные понятия
- •9.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •10. Однородные и линейные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения
- •11. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •Будем рассматривать следующие три типа ду, допускающих понижение порядка.
- •14. Метод вариации произвольных постоянных
- •15. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •16. Числовые ряды. Основные теоремы о сходимости
- •17. Положительные числовые ряды. Признаки Коши и Даламбера
- •18. Знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости
- •19. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •Равномерная сходимость
- •20. Степенные ряды
- •22. Применение рядов
10. Однородные и линейные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение вида y' + P(x) y = Q(x), левая часть которого есть линейная функция относительно y и y' , а функции P(x) и Q(x) непрерывны в некоторой области, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение вида y' + P(x) y = 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y' + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,
= – P(x) y
или
= – P(x) dx.
Проинтегрируем последнее уравнение:
= – P(x) dx + C,
ln y = ln C – P(x) dx.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид
y = C .
11. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Д.У. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 (1)
наз-ся уравнением в полных дифференциалах если левая часть этого уравнения
представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y)/
Необходимым и достаточным условием, того ,что уравнение (1) будет уравнением
в полных дифференциалах, выполнение равенства
dP/dy=dQ/dx
Действительно, если левая часть равенства (1) есть полный диф. функции U(x;y)
,то dU(x;y)=P(x;y)+Q(x;y)dy
dU(x;y)= dU/dx*dx + dU/dy*dy (3)
dU(x;y)= P(x;y)dx+Q(x;y)dy (4)
Сравнивая рав. 3 и 4
dU/dx=P(x;y) (5)
dU/dy=Q(x;y) (6)
dP/dy=d^2U/dxdy
dQ/dx=d^2U/dydx
Т.к для диф. ф-ции U(x;y) частная произв. 2-го порядка не зависят от порядка
диф., то мы приходим к равенству (2). С учётом равенства(30 равенство (1)
может быть зависимо как
dU(x;y)=0 (7)
U(x;y)=c (8)
Это и есть общее решение нашего д.у.
Для отыскания ф-ции U воспользуемся ф-лой (5)
dU=P(x;y)dx
U= ò(x;y)dx+C=òP(x;y)dx + j(y) (9)
Для отыскания ф-ции j(y) продифференцируем равенство (9) по переменной y
dU/dy=d/dyòp(x;y)dx+j¢(y)
j¢(y)=Q(x;y)- d/dyòp(x;y)dx (10)
Проинтегрировав левую и правую часть рав. (10) мы получим значение ф-ции j(y):
j(y)=ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy=C (11)
Подставим равенство (11) в (9)
òP(x;y)dx=ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy +C=C
òP(x;y)dx+ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy=C (12)
C=C-C получаем общее решение диф. уравнения.
Замечание.
1.) В ф-ле (12) знаки частной производной и дифференциала можно
поменять местами.
2.) Ф-цию U можно было определить из равенства(6)
12. Некоторые типы ДУ высших порядков допускающие понижение порядка
Будем рассматривать следующие три типа ду, допускающих понижение порядка.
1. Простейшие ДУ n-го порядка: |
|
(4) |
Решаются - кратным интегрированием.
2. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомую функцию :
-
.
(5)
Метод решения: замена ;
ДУ (5) – получилось ДУ I порядка относительно функции .
3. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимую переменную :
-
(6)
Метод решения: замена , то есть ;
тогда ДУ(6) - получилось ДУ I порядка, в котором – это независимая переменная, – искомая функция.
13. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами
Уравнение вида
|
где a1, …, an – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Всякое решение однородного уравнения первого порядка
|
имеет вид
|
где C – постоянная.
Уравнение вида
|
где Pm (x) – многочлен степени m, μ – постоянная, имеет частное решение вида
|
если μ ≠ λ, и вида
|
если μ = λ. Здесь Qm (x) – многочлен степени m.
В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.