21. Векторная оптимизация. Эффективные планы. Усреднение целевых функций.
(1)
В зад.(1) требуется
н-ти план,доставляющий минимум сразу
целевым ф-циям. Однако в описанной
постановке эта задача явл. неопределённой,
некорректной в том смысле, что для неё
нельзя ввести определение оптимал.
плана. Суть в том, что в отличие от
скалярного случая, когда два плана можно
сравнивать между собой по целевой ф-ции,
в векторном случае это сделать не всегда
возможно.
Пусть
=2
и даны два плана
такие что
По первой целевой
ф-ции лучше план
,
а по второй-
.
А в целом эти планы не сравнимы в (1).
Ситуация осложняется в том случае, когда
целевые функции измеряются в разл.
масштабах, и в разл. величинах (одна в
килограммах, вторая в метрах, третья в
рублях). Однако решить задачу каким-то
образом нужно.
Опр.Скалярно-оптимал.
планом зад.
(1) по
ой
целевой ф-ции наз. решение задачи
(2)
и будем его
обозначать
.
Исключим из
дальнейшего рассмотрения случай, когда
,
то есть когда каждая из целевых функций
задачи (1) достигает минимум на одном
плане (в одной точке).
Определение.
Говорят, что план
доминирует
план
задачи (1), если выполняется неравенство
и существует хотя бы один номер
.
То есть один план доминирует другой, если он не хуже другого по всем целевым функциям и строго лучше хотя бы по одной.
Определение.
План
называется эффективным
или оптимальным
по
Парето,
или не
улучшаемым,
если он не доминируется никаким другим
планом задачи (1).
Множество всех
эффективных планов обозначим
.
Ясно, какое определение не вкладывается
в решение задачи (1), т.е. в векторно-оптимал.
план (его обозначают
),
он должен находиться среди эффективных,
то есть задача (1) эквивалентна задаче:
(3)
22. Векторная оптимизация. Принципы выбора.
З. (1) некорректная, поэтому требуется некоторая дополнит. информация, кот. позволила бы ввести опр. реш-я задачи.
Опр.
Дополнител. информацию зад.(1), которая
позволяет определить понятие
векторно-оптимал. плана
,
наз. принципом
выбора.
Обычно такая информация включает в себя
набор из
параметров либо процедур. Принцип выбора
наз. правильным, если при некотором
наборе параметров векторно-оптимал.
план явл. некоторой эффективной точкой.
Принципы
выбора
1. Введение
весовых коэффициентов.
Пусть в
дополнении к зад.(1) указаны числа
,
кот. можно представить как степень
(меру) важности
ой
целевой ф-ции в зад.(1). Тогда за
векторно-оптимал. план принимается
реш-е задачи скалярной минимизации.
(4)
2.Введение
иерархии целевых ф-ций.
Пусть
целевые ф-ции зад.(1) упорядочены по
убыванию важности:
.
Пусть задаются числа
,
кот. означают уступку по
ой
целевой ф-ции от некотор. достигнутого
знач-ия. Тогда векторно-оптимал.план
находится с помощью след. процесса:
I
этап. Реш.зад.
.Находится
её реш-е – скалярно-оптимал. план
.
Затем делается уступка:строится мн-во
.
II
этап. Реш. задача:
.
Пусть
– оптимал. план этой задачи, делается
уступка: строится множество
….
N
этап. Реш. задача:
и её реш. - векторно-оптимал. план.
3.Установление
гарантированных уровней.Пусть
среди целевых ф-ций выдел. самая главная
,а
по остальным целевым ф-циям указаны
верхние пределы числа
,
кот. они не должны превышать. Тогда в
качестве векторно-оптимал. плана
принимается задача скалярного минимума:
,
.
Обычно числа
нужно построить.
4.Минимизация
расстояния до идеальной точки.
В этом
случае сначала вычисл. идеальная точка
с помощью реш-я зад.(2). Она имеет вид:
.
В качестве векторно-оптимал. плана
принимается реш-е:
.