- •Теорема сложения вероятностей
- •Условная вероятность Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
- •Независимые события
- •Дискретные случайные величины
- •Примеры дискретных случайных величин:
- •2) Дискретная биномиальная случайная величина(биномиальное распределение). Закон распределения данной дискретной случайной величины запишется следующим образом:
- •3) Дискретная случайная величина Пуассона(пуассоновское распределение с параметром ). Закон распределения дискретной случайной величины Пуассона задается следующим образом:
- •4) Дискретная геометрическая случайная величина (геометрическое распределение). Закон распределения геометрической дискретной случайной величины имеет вид
- •Непрерывные случайные величины
- •Примеры непрерывных случайных величин:
- •3) Равномерная на [a;b] непрерывная случайная величина(равномерное на отрезке [a;b] распределение).
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Простейшие свойства математического ожидания
- •[Править]Тождества
- •Описание
- •Характеристики
- •Графическое изображение рядов распределения
- •Полигон
- •6.1. Распределение домохозяйств по размеру
- •Статистическая таблица
- •Гистограмма
- •8.1 Определения и основные свойства точечных оценок
- •8.3. Метод максимального правдоподобия
- •3. Интервальные оценки
Примеры непрерывных случайных величин:
1) нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение). Непрерывная случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение, если её плотность распределения имеет вид
Если , то распределение называется стандартным нормальным распределением.
Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных величин. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей широко использует нормальное распределение.
2)экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение). Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное(показательное) распределение с параметром , если её плотность имеет вид
Экспоненциальному распределению подчиняется время распада ядер атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последствия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада ядра за время при условии, что перед этим оно уже прожило время , совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого ядра за время . Именно это свойство и представляет собой отсутствие последствия.
3) Равномерная на [a;b] непрерывная случайная величина(равномерное на отрезке [a;b] распределение).
Равномерно распределенная на отрезке [a;b] непрерывная случайная величина имеет плотность распределения
Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a;b].
17.биномиальное распределение
Биномиальное распределение
Случайная величина В = X1 + X2 +…+ Xk называется биномиальной. Ясно, что 0<B<k при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности Р(В = а) при а = 0, 1, …, k,достаточно знать р – вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие В = аосуществляется тогда и только тогда, когда событие А наступает ровно при а испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (т.е. номера в последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления в а опытах события А и в k-а опытах противоположного ему – это вероятность произведения kнезависимых событий. Вероятность произведения равна произведению вероятностей, т.е. ра(1 - р)k-a. Сколькими способами можно задать номера а испытаний из k? Это - число сочетаний изk элементов по а, рассматриваемое в комбинаторике. Как известно,
где символом k! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до k, т.е. (дополнительно принимают, что 0! = 1). Из сказанного следует, что биномиальное распределение, т.е. распределение биномиальной случайной величины, имеет вид
Название «биномиальное распределение» основано на том, что Р(В = а) является членом с номером (а+1) в разложении по биному Ньютона
если положить А = 1 – р, С = р. Тогда при j = a получим
Для числа сочетаний из k элементов по а, кроме , используют более распространенное в отечественной литературе обозначение .
Из утверждения 10 и расчетов примера 9 следует, что для случайной величины В, имеющей биномиальное распределение, математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами
поскольку В является суммой k независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями,
18.Распределение пуассона