27,Амплитудный и фазовый спектры сигнала. Отрицательные частоты. Физический и двусторонний спектры.

Амплитудный и фазовый спектры периодической функции

Пусть f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на [-l;l], и периодична периода 2l, тогда она представима рядом Фурье в комплексной форме

где 

с комплексной амплитудой и волновым числом . Тем самым мы представляем f(x) в виде суммы бесконечного множества комплексных гармонических колебаний,

частоты  которых образуют бесконечную арифметическую прогрессию с разностью

 Амплитуды и фазы гармонических колебаний, отвечающих комплексной гармонике , определяются формулами

Так как аргумент комплексного числа есть функция многозначная, то для вычисления фаз  нужно предварительно договариваться о выборе значений  . Можно, например, условиться брать главное значение аргумента, т.е. значение, удовлетворяющее условию

Амплитуды  и фазы гармонических колебаний, в виде суммы которых представляется периодическая функция f(x), играют большую роль в различных прикладных вопросах. Для наглядного представления этих амплитуд и фаз делают следующие построения: возьмем ось частот   и на этой оси отложим частоты  .

Против каждой частоты  перпендикулярно к оси  будем откладывать соответствующую амплитуду .Так как , то , т.е. амплитудный спектр симметричен относительно прямой L=0, а так как →0 при n→∞, то ординаты амплитудного спектра стремятся к нулю по мере удаления от прямой L=0, причем порядок убывания этих ординат не ниже чем  (без доказательства).

Аналогично строится фазовый спектр функции f(x).Для этого против точек   оси частот откладываются отрезки длины (вверх >0 и вниз <0).Так как = и , то  , т.е. фазовый спектр симметричен относительно точки L=0.

Отрицательные частоты

Понятие отрицательной и положительной частоты может быть показано на примере вращающегося в ту или другую сторону вектора. Частота со знаком отражает как скорость, так и направление вращения. Скорость выражена в оборотах (циклах) в секунду (герцах) или рад/с (где 1 оборот соответствует 2π радианам).

Для заданного во времени сигнала такой вектор представляет его на комплексной плоскости. Зависимость значения сигнала от времени есть лишь зависимость проекции вектора на действительную ось от времени. Поэтому понятие отрицательной частоты не может быть представлено в виде некомплексных сигналов во временной области и распространяется только на частотную.

Чтобы сигнал был представим в некомплексном виде, формула Эйлера требует равенства коэффициентов при комплесных экспонентах частот разных знаков. Несимметричность спектра равноценна наличию в сигнале гармоник, заданных только для отрицательной частоты.

Рассмотрим сигнал с девиацией частоты относительно несущей. При переносе несущей на ноль обычным гетеродином информация искажается. Поэтому для правильной обработки необходимо использовать квадратурный гетеродин, в котором вводится дополнительный канал, позволяющий сохранить информацию о несимметричности спектра (об отрицательной частоте относительно несущей) представляя огибающую двумя равноценными сигналами: исходный сигнал становится комплексным. Получить из такого сигнала вещественнный можно лишь его переносом на несущую , иначе требуется два канала передачи.

Пример искажения сигнала при преобразовании несущей обычным гетеродином:

Преобразование квадратурным гетеродином:

Для частотной области таким непредставимым понятием является временная асимметрия сигналов: лишь симметричные сигналы имеют некомплексный спектр.

Нечетная симметрия синусоиды во времени, в частотной области представлена сменой знака частоты: , а значения косинуса не связаны со знаком частоты.

Таким образом, понятие отрицательной частоты столь же оправданно, как и понятие отрицательного времени. Наглядное представление вращающегося в разные стороны вектора можно получить на экране осциллографа, подавая синус на вертикальные, а косинус на горизонтальные пластины и меняя полуось времени (знак синуса).

28 Интеграл Фурье и спектр непериодического сигнала. Теорема Релея. Спектральный метод.

Интеграл Фурье

        формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд) и если сходится

        

        то

        

Теорема Релея

Согласно этой теореме, истинное значение низшей собственной частоты всегда меньше, чем приближенное значение частоты, вычисленное энергетическим способом. Докажем эту теорему для изгибных колебаний, совершенно аналогично она доказывается и для других видов колебаний.

Положим, что при решении энергетическим способом задачи о свободных изгибных колебаниях была принята форма колебаний f = f(x). Тогда соответствующая статическая нагрузка, способная вызвать изгиб по кривой f(х), может быть представлена в виде

Следовательно, приближенное выражение для квадрата частоты

.                                                                        (264)

Ввиду известного произвола в выборе функции f(x) она не совпадает ни с одной из собственных форм, которые являются точными решениями; однако функцию f(x) можно представить в виде ряда по этим формам. Если ищут низшую собственную частоту, то функцию f(x) можно представить так:

f(x) = X₁(x)+ b₂X₂(x)+b₃X₃(x) +...                                        (265)

При удачном выборе функция f(x) близка к Х₁(х), поэтому коэффициенты b₂ , b₃ ... - малые числа .

Два раза продифференцируем выражение (265) по х, затем умножим обе части на жёсткость EJ и вновь дважды продифференцируем результат. Тогда получим

                                  (266)

Согласно основному уравнению (243), можно записать:

;     ;...

Подставляя эти значения в выражение (266), получим

                                        (267)

При помощи (265) и (267) образуем числитель формулы (264):

.

Вследствие ортогональности собственных форм все интегралы от произведений, где индексы сомножителей различны, равны нулю, поэтому

.                                           (268)

Знаменатель формулы (264) получим при помощи (265) в виде

   (269)

Здесь также исчезают все члены, содержащие произведения X_m X_n. Подставляя (268) и (269) в (264), получим квадрат низшей частоты

           (270)

Так как w ₁<w ₂<w ₃<...,то все дроби больше единицы и, следовательно, все члены числителя, начиная со второго, больше соответствующих членов знаменателя. Поэтому вся дробь, входящая в (270), больше единицы, т е.

w ²> ,                                                                                       (271)

что и утверждается теоремой Рэлея.

Частотный (спектральный) метод анализа электрических цепей

При частотном методе анализа электрическая цепь задается своими частотными характеристиками (АЧХ и ФЧХ), которые в большинстве практических случаев могут быть просто измерены или рассчитаны. При этом необходимо определить реакцию на произвольное (негармоническое) воздействие. Поскольку частотные характеристики являются характеристиками установившегося режима гармонических колебаний, то целесообразно произвольное воздействие представить в виде совокупности гармонических и реакцию линейной цепи искать как совокупность реакций, вызванных каждым гармоническим воздействием в отдельности. Таким образом, частотный метод анализа включает в себя задачу частотного или спектрального представления воздействия в виде суммы гармонических составляющих с определенными амплитудами, начальными фазами и частотами, а также задачу определения реакций цепи на каждую гармоническую составляющую воздействия и их суммирование.

Сформулированные задачи наиболее просто решаются для периодических негармонических воздействий, которые при некоторых ограничениях могут быть представлены в виде гармонического ряда Фурье.