8. Определение движения механической системы через радиус-вектор центра масс.

Пусть радиус-вектор центра масс R и радиус-вектор относительного движения частиц, и радиус-вектор относительного движения точек, описывают поведение системы:

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Из (3.9) имеем ,подставив данное соотношение в (3.8) получим следующее:

(3.12)

Из (3.9) выразим , подставим в (3.8)

(3.13)

Просуммировав уравнения (3.10) и (3.11) получим:

(3.14)

Дважды продифференцировав по времени (3.12) и (3.13) получим

(3.15)

Подставим (3.15) в (3.14)

(3.17)

Мы получили уравнение движения центра масс. Если внешние силы отсутствуют, то

Пусть система движется равномерно и прямолинейно или в начальный момент времени покоилась, тогда при подстановке в в (3.16)

Для одной материальной точки имеем:

(3.18) где - приведенная масса, равная:

Из (3.18) следует, что движение системы можно рассматривать как движение одной материальной точки с приведенной массой в соответствии со вторым законом Ньютона.

9. Теорема об изменении импульса механической системы. Закон сохранения импульса.

Во многих задачах важно не только значение самой величины, но и ее распространение в пространстве относительно некоторой точки или оси, тогда в теории появляются моменты данных величин. В теоретической механике существуют моменты векторных величин – момент импульса, момент силы, момент скалярной величины, импульс однородной материальной точки , импульс системы материальных точек - аддитивная величина. Получим закон изменения импульса механической системы. Будем считать, что в системе действуют центробежные силы, которые зависят от расстояния до центра поля. Запишем уравнение движения такой системы:

Представим ускорение точек через импульс:

(3.19)

Просуммируем уравнения (3.19) и учтем третий закон Ньютона:

(3.20)

Мы записали закон изменения импульса. Из (3.20) следует изменение суммарного импульса механической системы, обусловленного действием внешних сил на эту систему. Если система замкнута , то из (3.20) следует закон сохранения импульса (3.21), следовательно импульс является константой. Из (3.21) следует закон сохранения скорости механической системы как целой

10. Закон об изменении момента импульса механической системы. Закон сохранения момента импульса.

Воспользуемся системой (3.19)

Умножим векторно слева на и :

(3.23)

Представим левую часть системы (3.23) через произведение по времени от векторного произведения:

В системе (3.23) воспользуемся определением момента импульса и момента силы:

А так же учтем третий закон Ньютона, тогда уравнение движения системы двух материальных точек, полученное из (3.23) при векторном сложении левых и правых частей уравнения получим:

(3.24) где . (3.24) является теоремой об изменении момента импульса механической системы. Изменение момента импульса обусловлено действием момента внешних сил на эту систему. Суммарный момент импульса системы – аддитивная величина. Если механическая система замкнута, , то из (3.24) следует закон сохранения момента импульса:

, отсюда следует, что . Если в системе действует центр силы, то момент импульса так же сохраняется.