7. Инвариантное определение ротора.
Рассмотрим
произвольную точку M
в области V.
Проведем через нее поверхность
,
границей которой служит контур
.
Пусть поверхность и контур удовлетворяют
условиям теоремы Стокса. По теореме о
среднем для поверхностного интеграла
и формуле Стокса получим
.
Здесь, как и ранее
-
обозначение области и ее площади. Из
этого соотношения, стягивая контур
к точке M,
получим
Это и есть инвариантное определение
ротора. Правая часть формулы – это
поверхностная плотность циркуляции
векторного поля (энергии в точке M
вращения векторного поля или работы
векторного поля при вращении вокруг
некоторого направления, определяемого
вектором
).
Левая часть – это проекция ротора на
это направление. Если направление
совпадает с направлением ротора и
- единичный вектор, то левая часть равна
модулю ротора. Поэтому модуль ротора
векторного поля равен максимальному
значению поверхностной плотности
циркуляции векторного поля. Левая часть
достигает максимума при коллинеарности
направления и ротора векторного поля.
Поэтому направление ротора векторного
поля – это то направление, вокруг
которого поверхностная плотность
циркуляции векторного поля – наибольшая.
8. Необх. И достаточные условия независимости линейного интеграла от пути интегрирования.
Лемма.
Для того, чтобы
криволинейный интеграл
в некоторой области D плоскости хоу не
зависел от пути интегрирования, необходимо
и достаточно, чтобы интеграл по любому
замкнутому контуру, лежащему в этой
области, был равен нулю.
Теорема
3. Пусть
функции Р(х,
у) и
Q(x,
y) непрерывны
вместе со
своими частными производными первого
порядка в области D, ограниченной одним
замкнутым контуром. Тогда для того,
чтобы криволинейный интеграл
(15)
не зависел от линии интегрирования,
необходимо и достаточно, чтобы во всех
точках области D выполнялось равенство
(16)
Доказательство.
Достаточность.
Пусть равенство (16)
выполняется в области D.
Докажем, что криволинейный интеграл
(15) по любому замкнутому контуру L,
лежащему в области D,
равен нулю. Возьмём произвольный
замкнутый контур L*,
ограничивающий область D*,
целиком лежащей внутри области D,
и применим к нему формулу Грина
Так как по условию
,
то двойной интеграл равен рулю.
Следовательно, равен нулю и криволинейный
интеграл по контуру L*,
что и требовалось доказать.
Необходимость.
Пусть интеграл
не зависит от пути интегрирования. Надо
доказать, что выполняется равенство
(16), что, в свою очередь, вызывает равенство
нулю двойного интеграла (по теореме
Грина)
(17)
Воспользуемся методом доказательства
“от противного”. Предположим, что
равенства (16) и (17) не выполняются, т.е. в
области D,
ограниченной контуром L,
нашлась какая-то точка М,
в которой
(18)
Пусть для определённости эта разность
положительна. Тогда, в силу непрерывности
частных производных, эта разность
знакопостоянна в некоторой окрестности
точки М
и сохраняет тот же знак, что и в самой
точке. Обозначим эту окрестность D*,
а ограничивающий её контур есть L*.
Составим двойной интеграл по области
D* от
разности (18). По свойству (cм. гл. 12) интеграл
сохранит знак подынтегральной функции
По формуле Грина тогда и линейный
интеграл (15) будет иметь этот же знак:
Но это обозначает, что криволинейный
интеграл по замкнутому контуру отличен
от нуля, т.е. зависит от пути интегрирования,
что противоречит исходному условию.
Отсюда следует, что наше предположение
неверно. Теорема доказана.
Заметим,
что дифференциальное выражение P(x,
y)dx+Q(x,
y)dy
(19) напоминает форму полного дифференциала
первого порядка функции двух переменных
u(x,
y)
.
Выясним условия, при которых возможно
совпадение этих формул, т.е. выполнение
равенства
