6. Длина дуги кривой при ее параметрическом задании

Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть при этом изменение от до приводит к изменению от до . Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке и при этом . Тогда , а . Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):

.

В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:

Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке , то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле

.

52. Несобственный интеграл с бесконечными пределами, признаки сходимости, вычисление.

53. Двойной интеграл как предел интегральной суммы, его свойства, геометрический смысл и вычисление

54. Криволинейный интеграл по координатам, его свойства и вычисление, условия независимости от контура интегрирования.

55. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Порядок уравнения, Уравнения первого порядка. Общее и частное решения. Примеры. Задача Коши.

56. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, их интегрирование.

57. Интегрирование однородных дифференциальных уравнений первою порядка.

58. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью подстановки.

59. Интегрирование дифференциальных уравнений вида y⁽ⁿ⁾=f(x), F(y,y',y")= 0. F(y,y',y")= 0 путём понижения порядка.

60. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, однородные и неоднородные.

61. Структура общего решения однородного линейного уравнения второго порядка.

62. Линейные однородные уравнения второю порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения в случае, когда корни характеристического уравнения различные, одинаковые, комплексные.

63. Отыскание частного решения линейного неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных.

64. Отыскание частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределённых коэффициентов.

65. Числовые ряды с действительными членами. Сходимость и расходимость. Необходимый признак сходимости числовых рядов.

66. Основные свойства сходящихся числовых рядов. Достаточный признак расходимости.

Следствие ( Достаточный признак расходимости ряда ).

Если общий член ряда не стремится к нулю при , то этот ряд расходится.

Или можно так

67. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Признаки сравнения.

68. Признак Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости числовых рядов.