- •Вопрос 2.Множества и основные действия над множествами. Свойства действий над множествами.
- •Вопрос 3. Важнейшие числовые системы (натуральные, целые, рациональные и вещественные числа).
- •Вопрос 4.Важнейшие математические структуры (пространство n измерений. Метод координат).
- •Вопрос 5. Линейное пространство и его важнейшие свойства.
- •§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.
- •§8. Линейные операторы.
- •§9. Действия с линейными операторами.
- •Вопрос 6. Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.
- •Вопрос 7. Линейная зависимость (независимость) элементов. Размерность и базис линейного пространства.
- •Вопрос 8. Норма элемента, расстояние между элементами пространства. Ортонормированный базис.
- •Вопрос 9. Матрицы и основные действия над матрицами. Свойства действий над матрицами.
- •Вопрос 10. Определители матриц. Основные свойства определителей.
- •Вопрос 11. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения.
- •Вопрос 12. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы.
- •Вопрос 13. . Ранг матрицы. Практические приёмы вычисления ранга матрицы.
- •Вопрос 15. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Вопрос 16. Решение систем методом Крамера
- •17.Решение систем матричным методом.
- •Вопрос 18. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли.
- •Вопрос 21. Прямая на плоскости и в пространстве.. Взаимосвязь различных видов уравнений прямой.
- •Вопрос 23-24. Плоские кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Канонические уравнения кривых второго порядка.
- •Вопрос 25. Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.
- •26.Предел последовательности. Сходимость. Второй замечательный предел
- •27.Свойства сходящихся последовательностей.
- •28.Определение функции. Способы задания функции.
- •29.Предел функции. Непрерывность в точке, на интервале. Свойства.
- •Вопрос 27. . Основные теоремы о пределах.
- •Вопрос 28. Бесконечно малые величины, основные теоремы о бесконечно малых.
- •Вопрос 29. Бесконечно большие величины, связь бесконечно малых с бесконечными величинами.
- •Вопрос 36. .Дифференцируемость функции, первый дифференциал и производная первого порядка.. Связь непрерывности и дифференцируемости
- •Вопрос 31. Правила дифференцирования. Таблица производных.
- •Вопрос 39. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля).
- •Вопрос 40. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Связь теоремы Коши с теоремой Лагранжа.
- •Вопрос 41.Теорема Коши́
- •Вопрос 43. Формула Тейлора
- •42.Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •Вопрос 45. Функции нескольких переменных. Поверхности и линии уровня, поверхности и кривые безразличия.
- •47.Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •48.Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •Вопрос 50. Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в моделировании социально экономических процессов.
- •Вопрос 51. Локальные и условные экстремумы функций нескольких переменных.
- •Вопрос 53. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица элементарных интегралов.
- •54. Свойства неопределённого интеграла.
- •Вопрос 55. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование методом подстановки.
- •56.Метод интегрирования по частям (с выводом)
- •57.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •58.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •59.Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера.
- •60.Биномиальный интеграл.
- •61.Интегрирование функции .
- •62.Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •63.Основные свойства определенного интеграла.
- •64.Замена переменной в определенном интеграле
- •65.Вычисление определенного интеграла по частям.
- •Вопрос 67. Интеграл с переменным верхним пределом. Интегралы по бесконечным промежуткам.
- •Главное значение несобственного интеграла на бесконечном промежутке интегрирования
- •Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования
- •Вопрос 68. Формула Ньютона-Лейбница. Интегралы по симметричным промежуткам от чётных и нечётных функций. Оценки интегралов. Интегрально среднее.
- •71.Вычисление площади плоской фигуры.
- •72.Вычисление длины дугиплоской кривой.
- •73.Вычисление площади и объема поверхности тела вращения.
- •Вопрос 75. Признаки сходимости интегралов по бесконечным промежуткам.
- •Вопрос 76. Интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости интегралов от разрывных функций.
Вопрос 40. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Связь теоремы Коши с теоремой Лагранжа.
Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что
Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.
Вопрос 41.Теорема Коши́
Теорема Коши о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях
Пусть на отрезке определены две непрерывные фунции . Пусть также существует конечная или бесконечная производная f'(x), а функция g дифференцируема, то есть , и
Тогда
Пример. Проверить, что функции и на отрезке удовлетворяют условиям Коши.
Функции и непрерывны при всех , а значит, и на отрезке ; их производные и существуют везде; кроме того, на заданном отрезке не обращается в нуль.
Следовательно, к данным функциям применима теорема Коши: , т.е. , откуда находим два значения : , .
Из полученных значений только удовлетворяет условию задачи, так как является внутренней точкой отрезка .
Вопрос 43. Формула Тейлора
Формула Тейлора. Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка . Пусть - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками и найдется точка така, что справедлива формула Тейлора .
42.Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Итак, если имеется неопределенность вида или , то .
Доказательство. Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности вида при .
Для простоты будем предполагать, что функции и , а также их производные непрерывны в точке , причем и . В этом случае .
Применяя теорему Лагранжа для функций и на отрезке , получим , где , .
При в силу непрерывности производных и имеем и . Используя теорему о пределе частного получаем равенство .
Пример. Раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя и найти предел функции: .
.
44.Правила исследования функций.
Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность и нечетность.
Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Исследовать функцию и построить ее график.
1. Область определения функции.
Область определения функции : .
2. Исследование функции на четность-нечетность.
Так как , то функция общего вида.
3. Исследование функции на наличие вертикальных асимптот.
Прямая является вертикальной асимптотой, так как , .
4. Исследование поведение функции в бесконечности, нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
Так как , то функция горизонтальных асимптот не имеет.
Так как , , то прямая является наклонной асимптотой.
5. Экстремумы и интервалы монотонности функции.
Найдем производную первого порядка . Приравняем первую производную к нулю , откуда , . Знаки производной первого порядка указаны на рисунке.
|
- |
+ |
- |
|
|
-1 |
0 |
|
|
Функция возрастает на интервале , убывает - , . Точка является точкой минимума .
6. Определим интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Найдем производную второго порядка . Приравняем вторую производную к нулю , откуда . Знаки производной второго порядка указаны на рисунке.
|
+ |
+ |
|
|
0 |
|
|
Функция выпукла вверх на интервалах , . Точек перегиба нет.
7. Точки пересечения с осями координат.
Точка является точкой пересечения функции с осью абсцисс.