39 Задача выпуклого программирования (вп). Функция Лагранжа (л), седловая точка функции Лагранжа. Необходимое условие оптимальности.
,
,
(1)
–
выпуклая функция
(ВФ).
–
m-мерная
функция, каждый компонент
так же явл. веторной функцией.
–
выпуклое множество
(ВМ).
-def- Любой вектор x удовлетворяющий условиям (1) называется планом этой задачи (допустим. точка, допустим. вектор).
-def- Решение задачи (1) наз. оптимальным планом:
(множество
планов)
–
множество оптимальных
планов.
Седловая точка функции Л. Решение основной задачи ВП.
Отметим, что если
выполняется (1), то
явл. ВМ.
–
ВМ.
–
ВМ.
Если
содержит не единств. точку оптимального
плана
и
,
то
принадлежат все точки соединяющие
отрезок [
,
].
И оптимальных планов (ОП) бесконечно
много.
Если – строго выпуклая, то ОП единственный.
Доказать можно методом от противного.
По элементам задачи (1) составляют функцию Л:
,
–
m-мерный
вектор.
(2)
– функция Л.
Нету требования !!!
-def-
называется седловой
точкой функции Л, если
:
(3)
-Теорема 1-
Если
есть седловая точка функции Л., то
есть ОП задачи (1) при этом выполняется
условия дополняющей нежёсткости:
(4)
Док-во в конспекте есть.
-Замечание 1-
Сумма условия (4)
равна 0 т. и т.т., когда
(4’).
Если в каком-то
векторе
какая-то компонента
,
это означает
.
Если
,
тогда
.
-Замечание 2-
В задаче (1)
предполагается, что
и
– ВФ и
–
ВМ, но мы не используем этого в док-ве
=> теорема верна для любого
,
и
.
Смысл теоремы: что бы найти ОП задачи, надо найти седловую точку соответствующей функции Л.
Однако, есть ситуации когда задача решение имеет, а точную седловую точку найти не возможно.
40. Гладкие задачи выпуклого программирования. Необходимое условие оптимальности для задачи с регулярным множеством планов.
Слово гладкая означает существование 1-ой производной.
(1)
– выпуклые, гладкие
функции (
).
все
это обозначим через (7).
-def-
Множество планов задачи (7) называется регулярным, если выполняются условия Слейтера:
такой, что
.
(8)
Введём:
Введём подмножество индексов для конкретного плана:
Пусть
–
некоторый план, тогда множество индексов
–
множество индексов
с ограниченными номерами активных на
.
-Лемма-
Пусть множество
планов (7) регулярно, => выполняется
условие Слейтера, тогда для любых
различных векторов
и для любого вектора
:
(9)
Найдутся такие
числа
:
;(10)
– явл. планом задачи (1).
-Доказательство-
Надо до-ть, что
–
план, это означает:
а)
б)
А)
,
тогда в (10) можно выделить два слагаемых
для соотв. компоненты:
:
.
С помощью
можно сделать 2-ое слагаемое по абсолютной
величине достаточно маленьким и тогда
будет иметь знак первого слагаемого,
т.е.
.
.
Формула Тейлора для дифференцирования функции:
,
поэтому теоретически её можно записать
с помощью Тейлора в окрестности точки
.
Б)
(11)
–
бесконечно малая
по сравнению с
.
В разложении (11) 1-е слагаемое < 0, 3-е бесконечно малое, 2-е за счёт выбора t его можно сделать достаточно малым.
–
т.е. в разложении
(11) 1-е слагаемое = 0.
Теперь распишем 2-е слагаемое:
(11)
2-е слагаемое можно
сделать достаточно малым за счёт выбора
.
Доказали, что
.
-Теорема 2-
Пусть
–
оптимальный план гладкой задачи (7)
множество планов которое регулярно,
тогда для любого вектора
удовлетворяющего системе (9) выполняется:
(12)
Эта теорема даёт необходимое условие оптимальности плана для гладкой задачи ВП условия (2) которого регулярно.