Раздел 7. Численное дифференцирование 97
7.1. Постановка задачи 97
7.2. Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции 97
7.3. Погрешность численного дифференцирования 98
7.4. Аппроксимация производных посредством глобальной интерполяции 100
7.4.1. Аппроксимация посредством многочлена Ньютона 100
7.4.2. Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа 102
7.5. Метод неопределенных коэффициентов 104
7.6. Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании 105
Раздел 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения 106
8.1. Постановка задачи 106
8.2. Задача Коши для ОДУ 108
8.3. Численные методы решения задачи Коши 110
8.3.1. Одношаговые методы решения задачи Коши 110
1. Метод Эйлера 110
2. Метод Эйлера с пересчетом 112
3. Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой 113
4. Метод Рунге-Кутта 115
8.3.2. Многошаговые методы решения задачи Коши 116
1. Семейство методов Адамса 116
2. Многошаговые методы, использующие неявные разностные схемы 117
3. Повышение точности результатов 118
Основы численных методов введение
1. Этапы решения технических задач на эвм
Реальные инженерные и физические задачи во всех областях науки и техники обычно решаются посредством использования двух подходов:
– физического эксперимента;
– предварительного анализа конструкций, схем, явлений с целью выбора каких-то их оптимальных параметров.
Первый подход связан с большими и не всегда оправданными затратами материальных и временных ресурсов.
Второй подход связан с математическим моделированием, в основе которого заложены знания фундаментальных законов природы и построение на их основе математических моделей для произвольных технических и научных задач.
Математические модели представляют собой упрощенное описание исследуемого явления с помощью математических символов и операций над ними. Математические модели разрабатываются с соблюдением корректности и адекватности по отношению к реальным процессам, но, как правило, с учетом простоты их технической реализации.
Практика показывает, что возникающие и истребованные технические решения во многом однозначны, что определяет ограниченное число существенно полезных математических моделей, извлекаемых из стандартного справочника «Курс высшей математики». К примеру, из арсенала этих моделей можно назвать такие как линейные и нелинейные уравнения, системы линейных и нелинейных уравнений, дифференциальные уравнения (ДУ), разновидности интегралов, функциональные зависимости, «целевые» функции для решения задач оптимизации и др.
При математическом моделировании важным моментом является первоначальная математическая постановка задачи. Она предполагает описание математической модели и указания цели ее исследования. Для одной и той же математической модели могут быть сформулированы и решены различные математические задачи. Например, для наиболее распространенной модели, такой как функциональная зависимость y = f(x) могут быть сформулированы следующие математические задачи:
1) найти экстремальное значение функции f(x): max f(x) или min f(x);
2) найти значение x, при котором f(x) = 0;
3) найти значение производной f'(x),
значение интеграла
и
т.д.
Бурное развитие вычислительной техники выдвинуло на передний план при решении практических инженерных и научных задач вычислительную математику и программирование.
Вычислительная математика изучает построение и исследование численных методов решения математических задач посредством реализации соответствующих математических моделей.
Программирование обеспечивает техническую реализацию их.
Обобщенную схему математического моделирования можно представить следующим образом:
При реализации данного цикла требуют пристального внимания все его компоненты. Заключительным его этапом является получение численного результата и сопоставление его с целевой установкой и, как правило, для достижения желаемого, или приемлемого результата, всегда возникает необходимость изменения или математической модели, или вычислительного метода, или алгоритма, или программы.
Следует подчеркнуть важность и таких этапов данной технологии решения задач на ЭВМ как проведение расчетов и анализ результатов. (А именно, подготовка исходных данных, обоснование выбора вычислительного метода, корректность и точность решения). Важным моментом является также экономичность выбора: способа решения задачи, численного метода, модели ЭВМ, вычислительной среды.