- •3.Цепи с распределенными параметрами
- •3.1.Общие вопросы
- •3.2.Физическая природа первичных параметров
- •3.3.Эквивалентная схема замещения цепи с распределенными параметрами
- •3.4.Решение основных уравнений
- •3.5.Постоянные интегрирования. Гиперболические функции
- •3.6. Падающие и отраженные волны
- •3.7.Фазовая скорость. Длина волны
- •3.8.Неискажающая линия
- •3.9.Входное сопротивление нагруженной линии
- •3.10.Вторичные параметры цепи линии
- •3.11.Входное сопротивление линии без потерь при коротком замыкании на конце линии
- •3.12.Стоячие волны в линии без потерь при коротком замыкании на конце линии
3.Цепи с распределенными параметрами
3.1.Общие вопросы
Основоположником теории цепей с распределенными параметрами был английский ученый Оливер Хевисайд. Работая в одно время телеграфистом, он обнаружил, что из Англии в Данию можно передавать телеграммы в два раза быстрее, чем обратно. Оказалось, что при передаче электрических импульсов на большие расстояния появляются новые физические явления.
Суть этих явлений заключается в том, что в простых электрических цепях активные и реактивные сопротивления проводов и оборудования принимали как сосредоточенными в одном месте. На самом деле величины, которые называются первичными параметрами, распределены по всей длине электрической цепи.
3.2.Физическая природа первичных параметров
В цепях с распределенными параметрами происходит следующее. Вокруг любого проводника с током возникает магнитное поле. Магнитный поток создаваемый каждым элементом проводника пропорционален току. Так же как и прежде коэффициент пропорциональности (L) есть индуктивность элемента (Ф = L i). При этом:
L0 – индуктивность на единицу длины прямого и обратного провода.
Электрические провода обладают электрическим сопротивлением;
R0 – активное сопротивление на единицу длины прямого и обратного провода.
Если к линии приложено напряжение, то заряд, находящийся на проводах, пропорционален напряжению (g = C u). Коэффициент пропорциональности (С ) есть емкость между проводами. В цепях с распределенными проводами:
С0 – емкость на единицу длины.
Несовершенство изоляции учитывается проводимостью между проводами:
G0 – проводимость изоляции на единицу длины.
3.3.Эквивалентная схема замещения цепи с распределенными параметрами
Рассмотрим однородную двухпроводную линия связи или электропередачи. Возьмем бесконечно малый участок линии dx на расстоянии х от начала. Величины сопротивлений такого участка определяются как произведение сопротивления на единицу длины на длину участка. Эквивалентная схема замещения линии с обозначенными сопротивлениями приведена на рис. 3.1.
В начале участка протекает ток i . В конце участка ток получает приращение из за утечек тока через изоляцию и заряда емкости
, (3.1)
где дi / дх – скорость изменения тока вдоль линии.
Аналогично напряжение получает приращение
. (3.2)
Ток и напряжение зависят не только от времени, но и от расстояния. Поэтому здесь используются частные производные. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx , обойдя его по часовой стрелке:
. (3.3)
После сокращения и деления на dx получим
. (3.4)
По первому закону Кирхгофа для точки в
. (3.5)
Ток di равен сумме токов, протекающих через проводимость G0 dx и емкость C0 dx:
. (3.6)
После раскрытия скобок появляются слагаемые второго порядка малости (dxdx), которыми можно пренебречь. После деления оставшихся членов на dx получаем
. (3.7)
Запишем вместе уравнения (3.4) и(3.7):
.
Эти уравнения называются основными уравнениями цепи с распределенными параметрами или телеграфными уравнениями Хевисайда, и являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Они связывают скорость изменения тока во времени с изменением напряжения от расстояния, и скорость изменения напряжения во времени с изменением тока от расстояния.
Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений. Конкретное решение может быть получено с использованием начальных (t = 0) и граничных условий (значений тока и напряжения в начале или в конце линии).