2.8Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение

Рассмотрим схему (рис. 1.7). Здесь имеется два накопителя энергии – индуктивность и емкость. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для послекоммутационной цепи:

iR + и_а + и_а = Е . (1.28)

Имея в виду, что

, и , ,

получаем

, (1.29)

или

. (1.30)

Это есть дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряжения на конденсаторе с правой частью. Решение этого уравнения так же состоит из принужденной и свободной составляющей:

u_c = u_cпр + u_cсв .

Принужденная составляющая может быть найдена из дифференциального уравнения путем приравнивая нулю производных. Таким образом, получаем

u_cпр = Е.

Свободная составляющая определяется из дифференциального уравнения без правой части в виде :

, (1.31)

где А₁ , А₂ – постоянные интегрирования;

₁, ₂ – корни характеристического уравнения.

Запишем характеристическое уравнение:

. (1.32)

Введем обозначения: , . Тогда

, (1.33)

откуда .

Возможны три случая при нахождении корней характеристического уравнения:

1. , тогда корни будут вещественны, отрицательны и различны;

2. , тогда корни будут вещественны, отрицательны и одинаковы;

3. , корни сопряжено комплексные с отрицательной вещественной частью.

В первом случае будет апериодический переходный процесс, в третьем –

колебательный. Второй случай характеризует граничный режим, т.е. лежит между апериодическим и колебательным процессом.

Рассмотрим апериодический процесс, при котором корни вещественные, отрицательные и разные. Тогда

. (1.34)

Постоянные интегрирования определяются с учетом начальных условий. Здесь требуется два начальных условия, так как в уравнении два неизвестных А₁ и А₂. Одно начальное условие определяется по закону коммутации и называется основным. Напряжение на конденсаторе перед коммутацией было равно нулю:

.

Ток в индуктивности равен нулю, так как цепь была разомкнута:

i_L (0) = 0.

Для определения двух постоянных интегрирования нужно еще одно уравнение. Возьмем производную от первого уравнения:

. (1.35)

Определим значение производной в первый момент времени после коммутации по зависимости тока и напряжения на конденсаторе . Ток в емкости равен току в индуктивности, поэтому

.

Запишем уравнения (1.34), (1.35) для момента времени t=0 :

Решение этой системы имеет вид:

, (1.36)

. (1.37)

Подставим полученные значения постоянных в уравнение (1.34) и после небольших преобразований получим:

. (1.38)

Или

. (1.39)

Последнее выражение показывает, что закон изменения напряжения на конденсаторе после коммутации состоит из постоянной составляющей и двух экспоненциальных функций с постоянными времени

.

Ток в емкости определяется через производную:

. (1.40)

По теореме Виета

.

Тогда

, (1.41)

. (1.42)