Пример.
1. Давление газообразного вещества зависит от двух переменных. Для одного моля идеального газа имеем
Тогда
и
2. Определите тип приведенных дифференциальных уравнений
A. 2xydx + x2dy
Б. xydx + x2dy
Для выражения “Б” имеет место неравенство x 2x.
Таким образом “А” – полный, “Б” – неполный дифференциал
dz = 2xydx + x2dy
Ф = xydx + x2dy.
Для интегрирования дифференциального выражения в форме полного дифференциала необходимо задать путь интегрирования или с математической точки зрения кривую интегрирования AB, которая связывает между собой переменные x и y. Здесь A и B – точки начала и конца интегрирования. При задании кривой интегрирования криволинейный интеграл
переходит в определенный интеграл. Хотя математическая форма подынтегрального выражения зависит от вида функциональной зависимости y = (x). Математическое выражение самой функции z как суммы первообразной и постоянной интегрирования от пути интегрирования не зависит.
В наиболее простом варианте кривую интегрирования можно выразить в виде совокупности прямолинейных отрезков на поверхности x, y, например, в таком виде (рис. 4)
а) x0y0-xy0-xy или б) x0y0-x0y-xy
Рис. 4 Пути интегрирования полного дифференциала
Интегрируем уравнение () по x от x0 до x при любом фиксированном значении y, например y0. При фиксированном значении y второе слагаемое в уравнении становится равным нулю. Тогда
или
Теперь интегрируем (20) по y от y0 до y при любом фиксированном значении x, кроме x0. В этом случае имеем
или
Искомая функция в виде приращения Z есть сумма (21) и (22)
Саму функцию Z(x,y) в виде суммы первообразной и постоянной интегрирования можно найти по уравнению
Второй член постоянной интегрирования одержит в неявном виде в интегральных членах уравнения (24).
Аналогичное выражение можно получить интегрируя (20) по пути “б”.
или
Уравнения (23) и (25) отражают важные свойства криволинейного интеграла от полного дифференциала: приращение Z (в физическом смысле изменение) и математический вид Z не зависят от пути интегрирования. Приращение (величина) Z однозначно определяется координатами точек конца и начала кривой интегрирования – (x0,y0 и x,y). Это заключение и есть математическое воплощение основной характеристики свойства системы (функции состояния): его изменение не зависит от пути процесса и определяется только параметрами системы в конце и начале процесса.
Пример.
1. Найти Z и функцию Z, интегрируя выражение dz = 2xydx + x2dy по пути “а” и “в”.
В соответствии с уравнениями (23), (25) имеем
∆Z = Z(x,y) + Z(x,y0) – Z(x,y0) – Z(x0,y0) = x2y + x2y0 – x2y0 – x02y0
или
∆Z= Z(x,y) – Z(x0y0) = x2y – x02y0 (27)
Для функции Z находим
Z(x,y) = x2y + Z(x0,y0) – y02y0
или
Z(x,y) = x2y + С (28)
где (Z(x0,y0) – x02y0) – константа интегрирования С0
Используя уравнение (25) (путь “б”) получаем
Z(x,y) – Z(x0,y0) = x02y – x02y0 + a2y – x02y
Z(x,y) – Z(x0,y0) = x2y – x02y0
или
Z(x,y) = x2y + C
Из выражений (27,28) следует, что как математическое выражение функции так и ее изменение не зависят от пути интегрирования.