1. Дискретная случайная величина, закон и функция распределения

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством) Для сравнения - непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определённый день, вес ребёнка в каком-либо возрасте, и т.д.

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σp_i = 1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x_i; p_i)

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) = P(ξ < X). Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины. Ниже будет приведён пример, разъясняющий смысл сказанного.

2. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n

Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ + ... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду. Коэффициент вариации случайной величины - это относительная мера вариации. V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100% Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле: As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ + ... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³ Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее. Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле: Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ + ... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

Марковские случайные процессы Для того, чтобы определить числовые параметры, которые являются базисными для такого рода систем, необходимым представляется организация вероятностной модели явления, которая предусматривала бы соответствующие случайные факторы.

Допустим, что существует некая система S, которая предполагает изменения состояния с течением времени. Система S может означать техническое устройство, производственный процесс, вычислительную машину, информационную сеть и т.п. В случае, если на состояние системы S оказывают влияние непредсказуемые факторы, то имеет место так называемый системный процесс, специфика которого зависит от характера случайных факторов.

Для определения особенностей случайных процессов применяют аппарат, созданный в теории вероятностей специально для марковских случайных процессов.

Марковский случайный процесс («процесс без последствий») — это такой процесс, для которого характерно свойство: на вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t0)для каждого момента времени t0 влияние оказывает только ее состояние в настоящем (приt=t0 ). То есть, вероятность системы не зависит от способа перехода системы из одного состояние в другое. Это связано с тем, что развитие процесса осуществлялось в прошлом Иначе говоря, в марковском случайном процессе на будущее развитие влияние оказывают только его настоящее состояние, не существует зависимости от «предыстории» процесса. С практической точки зрения, непредсказуемые процессы представляются достаточно распространенным явлением. Хотя определение таких случайных процессов в качестве марковских осуществляется весьма условно. Теория марковских случайных процессов представляется широким направлением теории вероятностей, которое предполагает множество приложений. Спектр предложений настолько широк, что включает в себя большое количество элементов — от описания физических явлений типа диффузии или перемешивания шахты во время плавки в доменной печи до процессов образования очередей или распространение мутаций в биологической популяции.Марковские процессы можно классифицировать в соответствии с определенными признаками. При этом учитываются отрезки времени, при которых система способна менять свои состояния.

Процесс дискретного состояния — это такой случайный процесс, который предполагает наличие условия — возможные состояния системы S1, S2. S3.. должны поддаваться последовательной нумерации. Сущность же процесса состоит в том, что периодически система S скачкообразным способом перемещается из одного состояния в другое.

Процесс с непрерывными состояниями — это такой процесс, который предполагает постепенную, гибкую трансформацию системы из одного в другое состояние. В качестве примера можно отметить процесс изменения напряжения в осветительной сети.

Существует так называемый ГСП или граф состояний и переходов использование которого упрощает осуществление анализа случайных процессов с дискретными состояниями. ГСП представляет собой графическое изображение допустимых состояний системы и ее возможных способов перехода из одного состояния в другое.

а — обычный; б — размеченный

Допустим, что существует система S, которая предусматривает n дискретные состояния: S1, S2. S3 Sn.. Каждое состояние представлено в виде прямоугольника, стрелки же ГСП изображают возможные переходы из одного состояния в другое.

Следует отметить, что стрелки обозначают лишь непосредственные переходы из состояния в состояние. Если имеет место условие, сущность которого сводится к тому, что трансформация системы S1 в S5 осуществляется только через S2, то стрелками могут быть определены только S1-S2 и S2-S5. В данном случае нельзя отметитьS1-S5.

Допустим, что система S представлена в качестве прибора, находящегося в одном из пяти состояний; S1- в рабочем состоянии, S5- списан.

Билет 8. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

При рассмотрении марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем будем считать, что все переходы некоторой системы из одного состояния в другое происходят под действием потоков событий. Если все потоки простейшие, то процесс протекающий в системе будет марковским. На графе состояний системы у каждой стрелки будем проставлять интенсивность потока событий , переводящего систему из состояния в состояние. Для рассмотренного ранее примера о техническом устройстве, состоящим из двух узлов размеченный граф показан на Здесь - интенсивность потока отказов первого узла; ( - среднее время безотказной работы первого узла). Для размеченного графа показанного на рис. определим вероятности состояний системы ( - вероятность i-ого состояния системы, ). Для этого составим систему уравнений Колмогорова для конкретной системы, Размеченный граф состояний которой показан на рисунке. Найдем вероятность , что в момент t система будет находиться в состоянии . Придадим t приращение и найдем вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Это событие может осуществиться двумя способами: 1. В момент t система была в состоянии и за время из него не вышла; 2. В момент t система была в состоянии и за перешла в . Вероятность первого варианта равна произведению на условную вероятность того, что за не произойдет перехода . Эта вероятность равна . В итоге имеем . Вероятность второго варианта равна ( - вероятность условного перехода ). В итоге . Деля обе части на и переходя к пределу при найдем Аналогично можно найти еще три уравнения Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова. Интегрируя эту систему уравнений, найдем вероятности состояний, как функции времени.Для этого необходимо задать начальные условия при t=0. Например - это означает, что при t=0 система находится в состоянии Q2. Сформулируем правило составления дифференциальных уравнений:

в левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным соcтоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак "-", если в состояние знак "+". Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующему данной стрелке, умноженной на вероятность состояния, из которого исходит стрелка.

Билет 12. Транспортная задача

Математическое программирование включает в себя большое количество задач. Одной из самых распространенных является транспортная задача. Ее формулировку можно обозначить следующим образом: необходимо составить такой план доставки грузов от поставщиков к потребителям, чтобы затраты на перевозку оказались минимальными. Таким образом, главное заключается в том, чтобы организовать оптимальное взаимодействие производителей и потребителей продукции. В том случае, когда распределение касается только одного вида продукта, для потребителей поставщик не имеет никакого значения.

Существует несколько пунктов производстваА1 А2..Аn, которые предполагают определенный объем производства в конкретную единицу времени a1 a2 a3.. a n. Имеются также пункты потребления B1, B2..Bn, которые потребляют за обозначенный отрезок времени b1,b2..bnпродукции, соответственно.

Если мы находим решение сбалансированной задачи, то сумма объемов производства на всех m пунктах-поставщиках будет эквивалентна сумме объемов потребления на всех n пунктах получателях:

  При этом, определены средства, затраченные на перевозку единицы продукта от каждого поставщика к каждому получателю. Эти средства имеют обозначение . Неизвестными значениями являются объемы продукта, который перемещается от каждого пункта производства в каждый пункт потребления. Эти величины обозначаются .

Следовательно, оптимальное взаимодействие поставщиков и потребителей предполагает минимальные суммарные затраты на транспортировку:

. Кроме того, каждому потребителю достается необходимое количество продукта:

  , Количество произведенного поставщиком продукта: .

 

В данном случае, одним из условий является неотрицательность переменных. Это означает, что продукция следовать в обратном направлении не может. Тем не менее, поставка от какого-либо пункта производства к конкретному пункту потребления может равняться нулю.

Определено, что увеличение затрат на перевозку осуществляется пропорционально их объему, поэтому имеем задачу линейного программирования, а именно, задачу распределения ресурсов.

Можно искусственно привести открытую транспортную задачу к виду, обозначенному выше. Необходимо ввести в модель фиктивного поставщика или фиктивного потребителя, которые обеспечили бы баланс спроса и потребления.